9.3 Порядок проведення розрахунку

Нехай задана вибірка х₁, х₂…… х_n об’єму n із нормально розподіленої сукупності, при цьому середнє значення μ не відоме. Перевірити гіпотезу про рівність середнього значення μ генеральної сукупності деякому фіксованому значенню μ_о.

Н_о: μ= μ_о – нульова гіпотеза.

Випадок І: дисперсія вибірки σ² відома.

• обчислюємо вибіркове середнє:

. (9.1)

- обчислюємо нормовану випадкову величину:

, що має N(0;1) розподіл 1.

• При цьому з прийнятих в техніці рівнів вагомості (0,05; 0,01; 0,1) знаходять по таблиці потрібне критичне значення g_α.

• Проводимо аналіз отриманих результатів: якщо то гіпотеза Н_о відхиляється; якщо то гіпотеза Н_о приймається.

Випадок ІІ: дисперсія вибірки σ² невідома.

• обчислюємо вибіркове середнє для незалежної вибірки х₁, х₂…… х_n об’єма n:

. (9.2)

• обчислюємо вибіркове середньоквадратичне відхилення:

. (9.3)

• обчислюємо значення t – критерію

, що має розподіл Стюдента з m=n-1 ступенями вільності.

• Для заданого рівня вагомості α (0,1; 0,05; 0,01) та m=n-1 ступенями вільності по таблиці знаходимо граничне значення .

• Порівнюємо значення t із знайденим по таблицях t_α,m: якщо , то гіпотеза Н_о – приймається; якщо , то гіпотеза Н_о – відхиляється.

Нехай задано дві нормально розподілені вибіркові сукупності х₁, х₂…х_n1 і у₁, у₂…у_n2 необхідно перевірити гіпотезу про рівність їх дисперсій.

Н_о: - висунута гіпотеза.

• Обчислюємо для двох вибірок об’ємів n i m вибіркові середні і вибіркові дисперсії:

; (9.4)

; (9.5)

; (9.6)

. (9.7)

• Обчислюємо вибіркову функцію

. (9.8)

де F – розподіл Фішера з m₁=n₁-1 і m₂=n₂-1 ступенями вільності (при цьому в чисельник необхідно ставити більшу дисперсію).

• Для заданого рівня вагомості α(0,1; 0,05; 0,01) і ступеня вільності m₁=n₁-1 і m₂=n₂-1 знаходимо критичну величину F - статистики:

• Якщо вибіркове F задовольняє умову , то гіпотезу Н_о приймаємо, тобто вважаємо відмінності між вибірковими дисперсіями незначними і . В противному випадку гіпотеза Н_о відхиляється, тобто вважаємо, що емпірична дисперсія значно перевищує дисперсію .

9.4 Варіанти завдань

Нехай задана вибірка x=5+і; 4+і; 3,5+і; 2+і; 2,8+і; 3+і; 5,1+і; 5+і; 4,6+і; 3,5+і; 6+і; 2,8+і; 5+і; 4,1+і; 3,8+і; 4,2+і; 5+і; 2,7+і; 2,3+і; 4,2+і; 6,1+і; 5,4+і; 4,8+і; 4+і; 2,4+і; 4,2+і; 5,3+і; 3+і; 2,9+і; 2+і.

і - номер варіанту.

9.5 Контрольні запитання

1. Дайте визначення поняття "нульова гіпотеза".

2. Що собою являє критерій Стьюдента?

3. Охарактеризуйте критерій Фішера.

4. Поясніть поняття "рівень вагомості".

Лабораторна робота № 10 статистичний аналіз зв’язків результатів експериментів

10.1 Мета роботи

Ознайомитись та засвоїти методику здійснення статистичного аналізу зв'язків вибіркових сукупностей.

10.2 Теоретичні відомості

Будь яка задача математичного моделювання зводиться до дослідження залежностей одних величин від інших або їх взаємозв'язків. Здавалось би, при дослідженні цих залежностей можна обійтись і без введення випадкових величин. Однак складність окремих фізичних процесів вимагає застосування складного математичного апарату для дослідження залежностей між окремими величинами. В цьому випадку застосовують апроксимацію отриманої функціональної залежності за допомогою простішої математичної функції. Існують дві схеми зв’язків: між випадковою змінною y і невипадковою змінною x –регресійна залежність, між випадковими величинами x і y – кореляційна залежність.

Розрізняють два види зв’язку: функціональний (детермінований) і кореляційний (стохастичний). При функціональній залежності у явищ проявляються динамічні закономірності, жорстка механічна причинність, яка вира-жається у вигляді рівняння. При функціональному зв’язку кожному значенню аргументу відповідає одне або декілька значень функції.

В математиці вважається, що зв’язок між x та y може існувати і характеризуватись залежністю:

y_i =f(x_i ).

У суспільних процесах немає чіткої залежності між причиною і результатом, а тому не можна виявити залежність явищ від факторів, що вивчаються.

Зв’язок, при якому кожному значенню аргументу відповідає декілька значень функції, а між аргументом і функцією не можна встановити чіткої залежності, називається кореляційним. Розрізняють парну та множинну кореляцію.

Парна кореляція — це зв’язок між двома показниками, один з яких є факторним, а інший — результативним.

Множинна кореляція виникає від взаємодії декількох факторів з результативним показником. Основна задача фак-торного аналізу — визначити міру впливу кожного фактора на рівень результативного показника. Для цієї мети використо-вуються способи кореляційного, дисперсійного, сучасного багатомірного факторного аналізу й інші.

Найширше використовуються в економічних дослідженнях прийоми кореляційного аналізу, які дозволяють кількісно виразити взаємозв’язок між показниками.

Для успішного використання кореляційного аналізу мають бути такі умови:

• наявність достатньо великої кількості спостережень над величиною факторних та результативних показників, що досліджуються;

• фактори, що досліджуються, повинні мати кількісний вимір в тих чи інших джерелах інформації.

Використання кореляційного аналізу дозволить розв’язати такі задачі:

• визначити зміну результативного показника під впливом одного чи декількох факторів (в абсолютному вимірі);

• встановити відносний ступінь залежності результативного показника від кожного фактора.

Дослідження кореляційних співвідношень має велике значення в економічному аналізі. Це проявляється в тому, що значно поглиблюється факторний аналіз, визначається місце та роль кожного фактора у формуванні рівня показників, що досліджується.

Однією з основних задач кореляційного аналізу є визначення впливу факторів на величину результативного показника. Для розв’язання цієї задачі підбирається відповідний тип математичного рівняння, яке найкраще відбиває характер зв’язку (прямолінійний, криволінійний). Це відіграє важливу роль у кореляційному аналізі, бо від правильного вибору рівняння регресії залежить хід рішення задачі та результати розрахунків.

Регресійний аналіз призначений для вибору форми зв’язку, типу моделі для визначення розрахункових значень результативного фактору.

Кореляційно-регресійний аналіз передбачає такі етапи:

• вибір форми регресії;

• визначення параметрів рівняння;

• оцінка щільності зв’язку;

• перевірка щільності зв’язку.

Кореляційний зв’язок є неповним і неточним. Кореляційна залежність виражає числове відношення між величинами тільки у вигляді тенденції.