4. Статистические характеристики вариационных рядов

После построения вариационного ряда и его графического изображения можно получить первоначальное представление о закономерностях наблюдаемого явления. Чаще всего о вариационном ряде удобно говорить в терминах, которые в теории вероятности назывались числовыми характеристиками случайных величин. Рассмотрим эти характеристики.

Если генеральная совокупность Х относительно небольшого объема, то можно анализировать всю совокупность.

Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Если все значения Х₁, Х₂,…, Х_N различны (N – объем совокупности), то

Если же, что встречается чаще, значения признака имеют, соответственно, частоты N₁, N₂, … , N_k, причем N₁+N₂+…+ N_k = N, то

Очевидна аналогия между и математическим ожиданием, т.е. является оценкой математического ожидания М (Х).

Для оценки рассеивания количественного признака Х генеральной совокупности вокруг своего среднего значения используется генеральная дисперсия D_Г – среднее арифметическое квадратов отклонений признака от их среднего значения . Для различных Х₁, Х₂, …, Х_N.

Здесь _ среднее квадратов значений признака:

Если же значения признака имеют частоты N₁, N₂, …, N_k, то

но

Генеральным средним квадратическим отклонением (генеральным стандартом) называется

Если же генеральная совокупность – большого объема, то работа с ней становится очень громоздкой или невозможной. Тогда для изучения генеральной совокупности используют выборку конечного объема n.

Выборочной средней называется среднее арифметическое признака выборочной совокупности.

Для различных значений Х₁, Х₂, …, Х_n.

Если значения признака Х₁, Х₂, …, Х_k имеют, соответственно, частоты n₁, n₂, …, n_k, причем n₁ + n₂ +… + n_k = n, то

Выборочной дисперсией D_B называется среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения

Для различных значений

Для значений Х₁, Х₂, …, Х_k с частотами:

Выборочным средним квадратическим отклонением (выборочным стандартом) называется величина .

Хi	1	2	3	4
Ni	20	15	10	5

Здесь общая средняя:

Средняя квадратов:

Дисперсия:

Стандарт:

В примере намеренно не указан индекс характеристик, потому что расчеты как для генеральной, так и для выборочной совокупностей абсолютно аналогичны.

5. Оценки генеральной совокупности по выборке

Во многих случаях использование числовых характеристик выборки требует ответа на вопрос: насколько точно выборочные оценки соответствуют статистическим характеристикам генеральной совокупности, т.е. можно ли утверждать, что генеральная совокупность описывается числовыми характеристиками конечной выборки? Сформулируем некоторые критерии, которые следует предъявить к выборочным оценкам для положительного ответа на поставленный вопрос.

Для общности обозначим статистическую оценку неизвестного параметра S теоретического распределения (т.е. М (Х), D (X) и т.д.) через S* (т.е. и т.д.). Пусть по выборке объема n найдена оценка S₁^*. Повторим опыт – извлечем из генеральной совокупности другую выборку того же объема и найдем новую оценку S₂^*. Повторяя, можно получить числа S₁^*, S₂^*, …, S_k^*. Ясно, что выборочные оценки S^* можно рассматривать как случайную величину, а числа S₁^*, S₂^*, …, S_k^* как ее возможные значения. Следовательно, к оценке соответствия характеристик S^* и S можно подойти с вероятностных позиций.

При получении чисел S₁^*, S₂^*,…,S_k^* будут, естественно, случайные отклонения. Но для достаточного числа измерений можно утверждать, что

М (S^*) = S,

т.е. математическое ожидание оценки S^* равно оцениваемому параметру S при любом объеме выборки. Такая статистическая оценка S^* называется несмещенной. Если же равенство не соблюдается, т.е. М (S^*) то оценку S^* называют смещенной.

Не всегда можно утверждать, что несмещенная оценка дает хорошее приближение для S. Действительно, возможные значения S^* могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения М (S^*), т.е. дисперсия D(S^*) может быть значительной. В этом случае, если, к примеру, взять по одной выборке оценку S₁^*, то она может быть сильно удалена от М (S^*), а, значит, и от S. Приняв S₁^*, мы допустили бы большую ошибку. Но, если потребовать, чтобы дисперсия для S^* была малой, то возможность допустить большую ошибку будет исключена. По этой причине к S^* предъявляется требование эффективности.

Эффективной называют статистическую оценку S^*, которая имеет наименьшую возможную дисперсию при заданном объеме выборки n.

И, наконец, при рассмотрении выборок большого объема, к статистическим оценкам предъявляется требование состоятельности.

Состоятельной называют статистическую оценку S^*, которая при увеличении объема выборки стремится к оцениваемому параметру случайной величины.

К примеру, если дисперсия несмещенной оценки D (S^*) при увеличении объема n стремится к нулю, то, очевидно, S^* будет и состоятельной.

Рассмотрим теперь применение введенных критериев к изученным характеристикам. Пусть из генеральной совокупности признака Х извлечена выборка объема n со значениями х₁, х₂, …, х_n. Генеральная средняя неизвестна и необходимо ее оценить по данным выборки.

В качестве оценки обычно принимают выборочную среднюю Можно доказать, что при достаточном объеме выборки эта оценка является несмещенной и состоятельной оценкой

Использование выборочной дисперсии D_B в качестве оценки генеральной D_Г уже не так уверенно. Доказано, что D_B является смещенной оценкой, математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой D_Г, а несколько ниже и равно:

Зная эту формулу, легко исправить выборочную дисперсию и использовать далее исправленную дисперсию:

Ясно, что исправленный стандарт определится формулой:

Из сравнения формул для D_B и D_ИВ следует, что они отличаются только знаменателями. Если n – достаточно большое, то разница между D_B и D_ИВ мала. На практике исправленной дисперсией D_ИВ вместо D_В пользуются обычно, если объем выборки n < 50.