2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

1. Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, все значения которой принадлежат отрезку , а - её плотность распределения, определяется формулой:

(4)

Если все значения непрерывной случайной величины Х, все значения которой принадлежат бесконечному промежутку а - её плотность распределения, математическое ожидание определяется формулой:

(5)

когда этот несобственный интеграл сходится абсолютно.

2. Дисперсия непрерывной случайной величины Х, все значения которой принадлежат отрезку , а - её плотность распределения, дисперсия определяется формулой:

(6)

Если все значения непрерывной случайной величины Х , все значения которой принадлежат бесконечному промежутку а - её плотность распределения, определяется формулой: , если этот несобственный интеграл сходится абсолютно.

Для математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины справедливы все свойства перечисленные в пункте 5.1.

Пример 6: Найти числовые характеристики М(Х), D(X) и непрерывной случайной величины Х, заданной плотностью распределения

Решение: сначала найдём математическое ожидание:

, т.е.

теперь вычислим дисперсию :

получили значит среднее квадратическое отклонение

Ответ: , и

Пример 7: Найти числовые характеристики М(Х), D(X) и непрерывной случайной величины Х, заданной функцией распределения

Решение: сначала найдём плотность распределения с помощью формулы , получим

Найдем математическое ожидание:

, т.е.

теперь вычислим дисперсию :

получили значит среднее квадратическое отклонение

Ответ: , и

3. Моменты случайных величин

Помимо уже рассмотренных случайные величины имеют множество других числовых характеристик. При этом рассмотренные – математическое ожидание и дисперсия случайной величины, являются частными случаями более общих числовых характеристик случайных величин. Такими числовыми характеристиками являются начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка - случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой степени этой случайной величины

(7)

Для дискретной случайной величины Х формула для нахождения начального момента k-го порядка следующая:

(8)

где

Для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения формула для нахождения начального момента k-го порядка следующая:

(9)

если интеграл сходится абсолютно, и выполняется условие

Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-ой отклонения этой величины от ее математического ожидания, пусть М(Х)=а, тогда

(10)

Для дискретной случайной величины Х формула для нахождения центрального момента k-го порядка следующая:

(11)

где

Для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения формула для нахождения центрального момента k-го порядка следующая:

(12)

если интеграл сходится абсолютно, и выполняется условие

Исходя из определений можно отметить:

• Начальный момент первого порядка случайной величины Х равен ее математическому ожиданию .

• Центральный момент первого порядка равен нулю -

• Центральный момент второго порядка случайной величины Х равен ее дисперсии .

• Центральные моменты можно выразить через начальные моменты, используя свойства математического ожидания и определения моментов:

(13)

Пример 8: Найти центральные моменты первого, второго и третьего порядков для дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения

Y	2	4
Р	0,6	0,4

Решение: сначала найдём начальные моменты по формуле (8), получим

Теперь найдем центральные моменты по формулам (13)

Ответ:

Пример 9: Найти центральные моменты первого, второго и третьего порядков для непрерывной случайной величины Х, имеющую плотность распределения

Решение: сначала найдём начальные моменты по формуле (9), получим

Теперь найдем центральные моменты по формулам (13)

Ответ:

Список вопросов для самопроверки

1. Как определяется математическое ожидание дискретной случайной величины Х, принимающей конечное множество значений?

2. Какое еще название имеет математическое ожидание случайной величины? Чем это можно объяснить?

3. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины Х?

4. Каковы свойства математического ожидания случайной величины?

5. Что называется отклонением случайной величины от ее математического ожидания?

6. Дайте определение дисперсии случайной величины?

7. Что характеризует дисперсия случайной величины?

8. По каким формулам вычисляется дисперсия?

9. Каковы свойства дисперсии случайной величины?

10. Что такое среднее квадратическое отклонение?

11. Что называют начальным моментом k-го порядка случайной величины?

12. По какой формуле вычисляют начальные моменты k-го порядка?

13. Что называют центральным моментом k-го порядка случайной величины?

14. По какой формуле вычисляют центральные моменты k-го порядка?

15. Как выражаются центральные моменты первого, второго и третьего порядков через начальные моменты?