2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Еще одной важной характеристикой случайной величины является дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Дисперсия характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины около ее математического ожидания. Это очень важная характеристика. В приложениях теории вероятностей приходится сравнивать две однородные случайные величины. Из двух величин с равными математическими ожиданиями та считается «лучшей», которая имеет меньшую вариацию, т.е. меньшее значение дисперсии.

Дисперсией D(Х) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной Х и ее математическим ожиданием

(2)

Свойства дисперсии.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

3. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсией: , в случае суммы большего числа независимых случайных величин свойство формулируется аналогично.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, поэтому удобно использовать показатель рассеяния случайной величины той же размерности, что и размерность случайной величины.

Корень квадратный из дисперсии случайной величины называется средним квадратическим отклонением или :

(3)

Пример 3: Вычислить числовые характеристики для случайной величины Х, представленной следующим законом распределения:

Х	0	1	2	3	4
Р	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

Решение:

В соответствии с формулами для числовых характеристик (1), (2) и (3) получим:

получили математическое ожидание или среднее значение

дисперсия

среднее квадратическое отклонение

_Ответ. , и

Пример 4(из Ермакова): Два консервных завода поставляют продукцию в магазин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на втором – 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа банок с продукцией высшего качества.

Решение:

Составим закон распределения случайной величины Х – числа банок с продукцией высшего качества среди купленных трех банок. Вероятность появления события А – куплена банка с продукцией высшего качества – найдем по формуле полной вероятности:

Закон распределения случайной величины Х можно определить используя формулу Бернулли. Случайная величина Х – число банок высшего качества из купленных трех и может принимать значения 0, 1, 2 или 3. (с учетом того, что р=0,84, q=0,16, п=3, т=0,1,2,3). После расчета вероятностей получим следующий закон распределения:

Х	0	1	2	3
Р	0,004	0,066	0,337	0,593

В соответствии с формулами для числовых характеристик (1), (2) и (3) получим:

Математическое ожидание

Дисперсия

Среднее квадратическое отклонение

Ответ. , и

Пример 5: Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Х	3	5	7	9
Р	0,4	0,2	0,3	0,1

Y	-1	0	2
Р	0,3	0,4	0,3

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=2X+4Y.

Решение:

Воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии, а так же свойством независимости случайных величин Х и Y получим следующие формулы для расчетов:

В соответствии с формулами для числовых характеристик (1) и (2) получим:

Математические ожидания

Тогда

Дисперсия

Тогда

Ответ.