5. Числовые характеристики случайных величин

1. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Рассмотрим числовые характеристики дискретной случайной величины. Закон распределения случайной величины полностью характеризует случайную величину. Наиболее важные свойства случайной величины, используемые при решении задач, характеризуются несколькими постоянными величинами, которые называют числовыми характеристиками случайной величины. Важнейшими из них являются математическое ожидание М(Х), дисперсия D(Х) и среднее квадратическое отклонение .

1. Математическое ожидание.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений каждого значения этой величины на соответствующую вероятность:

(1)

Термин «математическое ожидание» возник в связи с применением вероятностных методов в страховом деле, когда необходимо было определить ожидаемую (предполагаемую) величину выплат по страховым договорам. В практических задачах за математическое ожидание принимается среднее значение случайной величины.

Свойства математического ожидания случайной величины.

1. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной величине.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е.

3. Математическое ожидание случайной величины заключено между ее возможными наименьшим и наибольшим значениями: , где а – наименьшее значение и b – набольшее значение случайной величины Х.

4. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

Случайные величины Х и Y называются независимыми, если закон распределения одной их них не зависит от того, какие значения приняла другая величина.

5. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Пример 1: Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, представленной следующим законом распределения:

Х	3	4	5	6	7
Р	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

Решение:

В соответствии с формулой (1) получим:

получили математическое ожидание или среднее значение

_Ответ.

Пример 2: Закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х	-3	-1	0	1	3
Р	0,1	0,2	0,1	0,3	0,3

Записать законы распределения случайной величины 4Х. Найти математические ожидания величин Х и 4Х.

Решение:

Запишем закон распределения величины 4Х, получим:

4Х	-12	-4	0	4	12
Р	0,1	0,2	0,1	0,3	0,3

В соответствии с формулой (1) найдем математические ожидания:

получили математическое ожидание и

Замечание: математическое ожидание случайной величины 4Х можно вычислить, пользуясь 2-м свойством, при известном математическом ожидании величины Х -

_Ответ. и