2. Распределение Пуассона

Рассмотрим реализацию серии п независимых испытаний в каждом из которых данное событие А имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания. И для каждого испытания имеются только два исхода:

3. Событие а – успех;

4. Событие - неуспех,

с постоянными вероятностями

Если число независимых испытаний n устремить к ∞, а вероятность p устремить к нулю так, чтобы np стремилось к некоторой постоянной а, то биномиальное распределение будет неограниченно приближаться к распределению Пуассона. В общем случае говорят, что случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она может принимать только целые неотрицательные значения, а вероятности этих значений определяются формулой Пуассона:

(9)

где , экспонента и .

Закон распределения Пуассона дискретной случайной величины представляют в виде таблицы:

Х	0	1	2	…	k	…
Р				…		…

при этом

Основные числовые характеристики распределения Пуассона:

1. Математическое ожидание (10)

2. Дисперсия (11)

3. Среднее квадратическое отклонение (12)

Распределение Пуассона используется при анализе результатов выборочных маркетинговых обследований потребителей, расчете характеристик статистического приемочного контроля в случае малых значений приемочного уровня дефектности, для описания числа разладок статистически управляемого технологического процесса в единицу времени, числа «требований на обслуживание», поступающих в единицу времени в систему массового обслуживания, статистических закономерностей несчастных случаев и редких заболеваний, и т.д.

Пример 3: Случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Найти математическое ожидание, дисперсию и , если а=4.

Решение: По формуле (9) при известных получим

Теперь найдем числовые характеристики Х:

• математическое ожидание

• дисперсия

• среднее квадратическое отклонение

Ответ:

Пример 4: Случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Найти математическое ожидание, дисперсию и , если а=4.

Решение: По формуле (9) при известных получим

Теперь найдем числовые характеристики Х:

• математическое ожидание

• дисперсия

• среднее квадратическое отклонение

Ответ:

На практике, когда рассматриваются потоки событий в единицу времени Пуассоновское распределение рассматривают следующим образом – пусть имеется некоторая последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени (это поток событий). Интенсивность потока – среднее число событий, появляющихся в единицу времени – λ. Пусть данный поток событий обладает следующими свойствами:

1. вероятность появления k событий за определенный промежуток времени зависит только от длины этого промежутка, но не от точки отсчета, т.е. интенсивность потока постоянная величина;

2. вероятность появления k событий в любом промежутке времени не зависит от того, появились события в прошлом или нет;

3. появления более одного события за малый промежуток времени практически не возможно.

При выполнении свойств 1- 3 данный поток событий обладает свойствами распределения Пуассона и тогда вероятность того, что за промежуток времени t событие произойдет k раз, равна

₍₁₃₎

Пример 4: Среднее число вызовов, поступающих в сотовую компанию за 1 минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 минуты поступит а) четыре вызова, б) менее трех вызовов, в) не менее трех вызовов.

Решение: Исходя из условий задачи имеем дело с потоком событий, имеющих Пуассоновское распределение:

По формуле (13) найдем вероятности поступления 0, 1, 2, 3 или 4 звонка:

Теперь найдем искомые вероятности:

а) четыре вызова -

б) менее четырех вызовов

в) не менее четырех вызовов -

Ответ: