Результат выполнения лабораторной работы.

Рис.4. Блок-схема алгоритма E, дополненная примечаниями, которые доказывают правильность работы алгоритма.

С ледует A6. Поэтому нам достаточно доказать, что выполнение А6 до шага Е2 влечет за собой выполнение А3 после этого шага. Заметим, что условие d > 0 необходимо в А6 для того, чтобы операция Е2 имела смысл.) Нужно показать также, что из А3 (при условии, что r=0) следует А4, из А3 (при условии, что r≠0) следует А5 и т.д. Все это доказывается очень просто.

Если доказать утверждение (7) для каждого блока, то все примечания к стрелкам будут верны в любом случае выполнения алгоритма. Теперь мы можем применить индукцию по числу шагов, т.е. по числу стрелок в блок-схеме. При прохождении первой стрелки (той, которая выходит из блока «Начало») утверждение А1 верно, поскольку мы всегда исходим из предположения, что выходные значения удовлетворяют заданным условиям. Таким образом, утверждение, которое соответствует n-й стрелке, верно.

Исходя из этого общего метода доказательство правильности заданного алгоритма, очевидно, сводиться к нахождению правильных утверждений, соответствующим стрелкам блок-схемы. Как только данное начальное препятствие будет преодолено, останется лишь рутинная работа, связанная с доказательством того, что каждое утверждение влечет за собой утверждение на выходе из блока. В действительности после того как вы придумаете самые трудные из утверждений, найти все остальное уже не составит труда. Скажем, если даны утверждения А1, А4 и А6, уже понятно, какими должны быть утверждения А2, А3 и А5. В нашем

Таблица 1

ТАБЛИЦА БИНОМИАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ (ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ)

r
0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
2	1	2	1	0	0	0	0	0	0	0
3	1	3	3	1	0	0	0	0	0	0
4	1	4	6	4	1	0	0	0	0	0
5	1	5	10	10	5	1	0	0	0	0
6	1	6	15	20	15	6	1	0	0	0
7	1	7	21	35	35	21	7	1	0	0
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1	0
9	1	9	36	84	126	126	84	36	9	1

Подсчитать общее число сочетаний из n объектов по k совсем несложно. Соотношение (2) из предыдущего раздела говорит о том, что существует n(n-1) … (n-k+1) способов выбора первых k объектов в перестановке, причем каждое сочетание из k элементов встречается ровно k! раз, так как для любого набора из k объектов существует k! перестановок. Поэтому для числа сочетаний из n элементов по k, которое мы обозначим через , получаем следующую формулу:

(2)

Например,

Это число сочетаний, которое мы нашли в (1).

Величины (читается «число сочетаний из n по k») называются биномиальными коэффициентами и имеют очень широкое применение. Вероятно, это самые важные величины, использующиеся в анализе алгоритмов, поэтому я настоятельно советую читателю познакомиться с ними.

Формулу (2) можно использовать для определения даже в том случае, когда n не является целым числом. Точнее говоря, определим число сочетаний для всех действительных r и всех целых k следующим образом:

, целое k≥0; (3)

, целое k<0.

В частных случаях имеем: , , . (4)

В табл. 1 приведены значения биномиальных коэффициентов для небольших целых величин r и k; биномиальные коэффициенты для 0≤r≤4 следует запомнить.