Тема 2. Простые числа «близнецы»

Два простых числа называются «близнецами», если между ними есть только одно четное число. Например, числа-близнецы 3 и 5; 5 и 7; 11 и 13; 17 и 19; 29 и 31.

Известно, что простых чисел бесконечно много. Но не известно, конечно или бесконечно множество пар близнецов. В книге [3] приводится пример самой большой пары близнецов, известной сейчас. Это два простых числа 1 000 000 009 649 и 1 000 000 009 651.

Задания:

№1. Составь таблицу простых чисел-близнецов первой тысячи. Можно использовать таблицу простых чисел и калькулятор.

№2. Первые две пары близнецов (3 и 5) и (5 и 7) имеют общий элемент 5. «Расстояние» между второй (5 и 7) и третьей (11 и 13) парами близнецов равно 11-4 =4. Расстояние между третьей и четвертой (17 и 19) равно 17-13 =4. Расстояние между четвертой и пятой парой (29 и 31) равно 29-19 =10. Докажи, что далее расстояние между соседними парами близнецов никогда не будет меньше четырех [1].

№3. Докажи, что всякое число, находящееся между близнецами и большее 4, делится на 6. Проверь это утверждение на примерах. Попробуй провести рассуждения в общем виде.

№4. Наблюдения над простыми числами показывают, что между квадратами простых чисел всегда имеются близнецы. Например, между числами

2² = 4 и 3² = 9 есть близнецы 5 и 7; между числами 3² =9 и 5⁵=25 есть близнецы - два простых числа 11 и 13.Это порождает гипотезу близнецов (предположение), что между квадратами простых чисел всегда найдутся близнецы. Эта гипотеза пока не доказана ( может быть она и не верна!).

Проверь ее для простых чисел первой тысячи. Сделай выводы.

После выполнения всех заданий, напиши реферат по теме «Простые числа -близнецы».

Литература:

1. Колмогоров А.Н. Решето Эратосфена //Квант, 1974. № 1. С. 77.

2. Колмогоров А.Н. Математика – наука и профессия /Сост. Г.А. Гальперин. – М.: Наука, 1988 (Б-чка «Квант». Вып. 64). С. 220-221.

3. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учрежд.- 2-е изд.-М.: Просвещение, 1999. С. 103-104.

Тема 3. Проблема Гольдбаха

Из простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. Например, 23=6; 35=15; 37=21 и т.д.

Живший в России в XVIII веке немецкий математик Христиан Гольдбах (1690-1764) решил складывать простые числа попарно. Он обнаружил удивительную закономерность, наблюдая за числами:

6= 3+3; 8=3+5; 10= 3+7=5+5; 12=5+7 и т.д. (1)

Попробуй и ты обнаружить эту закономерность. Обрати внимание на числа, стоящие слева и справа в каждом примере.

Задания:

№1. Вспомни определение простых чисел.

№2. Составь и запиши таблицу простых чисел до 100.

Замечание: При выполнении заданий №1, 2 можно использовать учебник математики, по - которому ты учишься.

№3. Обрати внимание на примеры записи (1). Что ты заметил общего в этих примерах?

№4. Попробуй продолжить запись для следующих чисел: 14 = __ + __

16 = __ + __

№5. Если ты догадался, как продолжить запись (1), то продолжи её для чисел первой сотни.

№6. Посмотри внимательно на записанные примеры. Что ты заметил общего в этих примерах? Сформулируй свою догадку в виде математического предложения.

Замечание: после выполнения заданий № 1 - 6 прочти указанную литературу и ответь на вопросы

№7. В чем заключается проблема Гольдбаха?

№8. Кто из математиков еще работал над этой проблемой?

№9. Проверь, выполняется ли подмеченная закономерность для чисел первой сотни. Составь таблицу. А для чисел, больших 100?

После выполнения всех заданий, напиши реферат по теме «Проблема Гольдбаха»