2. Тематика исследовательских работ

Тема 1. Простые и составные числа

Простыми числами называются натуральные числа, которые имеют только два делителя: единицу и само число.

Например, 2, 3, 5, 11, 41- простые числа. Среди простых чисел только одно четное - 2, все остальные нечетные.

Составными числами называются натуральные числа, которые имеют больше двух делителей.

Например, 4, 6, 9, 12, 15 – составные числа Почему? Сколько делителей имеет каждое из них?

Замечание: число 1 не относится ни к простым, ни к составным.

Сколько всего существует простых чисел? Ответ на этот вопрос был дан древнегреческим математиком Евклидом в IX книге «Начала»: ряд простых чисел бесконечен.

Задания:

№1. Выпиши простые числа первой сотни. Сколько их в первом десятке? Всего?

№2. Может ли сумма простого и составного числа быть простым числом? Приведи примеры. Сделай вывод.

№3. Может ли сумма двух последовательных натуральных чисел быть простым числом? Приведи несколько примеров и контпримеров. Сделай выводы. Попробуй провести свои рассуждения в общем виде так:

Пусть n и n+1 – два последовательных натуральных числа.

Тогда их сумма будет равна n + n +1 =

При n = ____ получим __________ число, при n = ____ получим ______________ число.

№4. Может ли сумма трех последовательных натуральных чисел быть простым числом? Попробуй провести свои рассуждения в общем виде. Сделай выводы.

№5. Разложи число n, где n – составное число и 16  n31 на простые множители. Истинно ли для данного n утверждение, что n представимо в виде произведения не более, чем трех простых множителей? Какое утверждение будет истинным для n?

№6. Может ли площадь квадрата, длина стороны которого выражена натуральным числом, быть простым числом? Проведи свои рассуждения в общем виде так: Пусть а см – длина стороны квадрата, тогда его площадь равна _______.

Отсюда следует, что ________________________.

Проверь свои выводы на примерах.

№7. Один из городов нашей страны в прошлом веке отметил юбилей, причем его «возраст» делится на 25. При этом сумма цифр года основания в два раза меньше суммы цифр года юбилея, а если записи каждой из этих двух дат разделить точкой с запятой, то получится четыре простых двузначных числа. О каком городе идет речь?

№8. Клиент банка забыл четырехзначный шифр своего сейфа и помнил лишь, что этот шифр - простое число, а произведение его цифр равно 243. За какое наименьшее число попыток он наверняка сможет открыть свой сейф?

№9. Познакомься с доказательством Евклида о бесконечности простых чисел [4]. Запиши его.

№10. Выбери еще какие-нибудь доказательства, в которых ты разобрался.

После выполнения всех заданий, напиши реферат по теме «Простые и составные числа».

Литература:

1. Гальперин Г. Просто о простых числах //Квант, 1987.-№4. С. 9-14.

2. Зельцер И.С., Кордемский Б.А. Занятные стайки простых чисел // Математика в школе. 1988. № 6. С. 49-51.

3. Тихомиров В. Теорема Чебышева о распределении простых чисел // Квант, 1994. №6.С.12-13.

4. Эвнин А. Девятнадцать доказательств теоремы Евклида // Квант, 2001, №1. С.35-38.

5.Утеева Р.А. Дифференцированные задания по математике. 6 класс: Пособие для учителя. –Тольятти, 1996. Задания № 4. С. 18-21.