Часть 2. Постановка и решение задач исследования

2.1. Постановка первой задачи

Пусть дано, например. число n =12. Существует ли целочисленный прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 12?

Решение:

Пусть х и у – катеты прямоугольного треугольника и 0  у  х  12.

Тогда х²+y²=12² или х²+y²=144.

Составим таблицу 1.

Таблица 1

х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
х2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121
у2	143	140	135	128	119	108	95	80	63	44	23

Из таблицы видно. что не существует целого значения у, значит не существует и целочисленного прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной 12.

Ответ: не существует целочисленного прямоугольного треугольника с длиной гипотенузы, равной 12.

Пусть теперь n =13. Тогда нам нужно решить уравнение х²+y²=169.

Аналогично составим таблицу 2.

Таблица 2

х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
х2	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144
у2	168	165	160	153	144	133	120	105	88	69	48	25

Из таблицы видно, что существует два целых значения у: у=12 и у=5, значит с гипотенузой, равной 13, существует целочисленный прямоугольный треугольник с длинами сторон 5,12 и 13.

Для того чтобы и дальше не составлять аналогичные таблицы, поступим по-другому. Так как по условию существования треугольника х+у  n и, мы положили, что у  х, значит х²+y² 2х², а 2х² n². Итак, 2х²169, отсюда находим, что х²84. Значит, достаточно проверить лишь три значения х²: 100, 121 и 144. Находим у², из которых только одно значение целое. Это у=5 при х = 12.

Аналогично исследуем все остальные значения n (n 20). Результаты представим в виде таблицы 3 ( Приложение). Ясно, что n 3.

Треугольники со сторонами (3;4;5). (6;8;10), (9;12;15) подобны, поэтому в дальнейшем будем рассматривать только не подобные треугольники с гипотенузой n =5,13 и 17. Все эти числа оказались нечетными простыми числами.

Итак, сделаем первый вывод: существуют три ( не подобных) целочисленных прямоугольных треугольника с гипотенузой n, равной нечетному простому числу, где n20.

2.2. Постановка второй задачи

При каких условиях нечетное простое число является гипотенузой, а при каких – не является?

Составим таблицу 4.

нечетное простое число р	Прямоугольные треугольники с гипотенузой р
3	не существует
5	25= 16+9
7	не существует
11	не существует
13	169 = 144 +25
17	289= 225+64
19	не существует
23	не существует
29	841= 441+400
31	не существует

Выпишем простые нечетные числа в два ряда и понаблюдаем за ними:

5, 13,17,29, … и 3,7,11,19,23,31, …

8 4 12 4 4 8 4 8

Итак, сделаем второй вывод: все разности делятся на 4, причем в первом случае остаток от деления простых чисел на 4 равен 1, а во втором -3.

Возникает гипотеза: простое число вида 4к+1 является гипотенузой, а простое число вида 4к+3 –не является. Проверим ее.