3Вычислительная техника
3.1Системы счисления
Персональные компьютеры состоят из полупроводниковых интегральных микросхем различного уровня сложности, совместная работа которых обеспечивается, с одной стороны, согласованностью электрических и частотных характеристик (для работы устройств на «физическом» уровне), а с другой стороны, строгим соблюдением определенных логических правил (для выполнения устройствами задач «логического» уровня). Переключения и изменения состояния логических элементов зависит от уровня логических сигналов на входе, каковыми являются напряжения 0,36-0,5 В ("логический ноль") и 2,4…2,7 В ("логическая единица"). «Физический» уровень работы интегральных микросхем, составляющих персональный компьютер, предоставляет «логическому» уровню базис из двух состояний: «есть сигнал» - «нет сигнала». Логично принять присутствие сигнала за логическую единицу, а его отсутствие – за логический ноль. Именно этот факт и привел к широкому использованию двоичной системы счисления в вычислительной технике, в которой имеются только две цифры – {0 , 1}, т.е. основание p(2) = 2
Под системой счисления принято называть совокупность приемов обозначения (записи) чисел. Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
Непозиционная система счисления – система счисления, в которой для обозначения чисел вводятся специальные знаки, количественное значение которых («вес» символа) всегда одинаково и не зависит от их места в записи числа. Самым известным примером непозиционной системы счисления является римская система счисления. В римской системе счисления для записи числа в качестве цифр используются буквы латинского алфавита.
I – 1 |
V – 5 |
X – 10 |
L – 50 |
C – 100 |
D – 500 |
M – 1000 |
Позиционной системой счисления называется система счисления, в которой значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее положения в ряду других цифр, изображающих число.
Положение, занимаемой цифрой при письменном обозначении числа называется разрядом.
Наша, естественная система счисления – десятичная – является позиционной. Это значит, что в числе 1978, цифра «1» – обозначает одну тысячу. Эта цифра стоит в позиции третьего разряда. Цифра «9» – девять сотен, второй разряд. Цифра «7» – семь десятков, первый разряд. А «8» – восемь единиц, нулевой разряд. Распишем вышесказанное в виде математической формулы:
1978=1000 + 900 + 70 + 8 = 11000 + 9100 + 7-10 + 8 = 1103+9102+7 101+8 10°
Распишем подобным образом дробное число:
3019,7294 = 3103 +0102 +1101 +910° +710-1 +210-2 +910-3 +410-4.
Очевидно, что в десятичной системе счисления числа 10n, где n = (− ∞,+∞) - номер разряда,
играют ключевую роль в формировании записи числа. Эти числа называются базисом десятичной системы счисления. Число 10 для нашей десятичной системы счисления является ее основанием.
Многочленная форма:
Aq=anqn+an-1qn-i+an-2qn-2+... + a2q2+a1q + a0+a-1q-i+... + a-mq-m,
где q -основание системы счисления.
Количество цифр, необходимых для записи числа, называется длиной числа. Чем меньше основание, тем длиннее запись числа.
10 |
2 |
8 |
16 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
10 |
2 |
2 |
3 |
11 |
3 |
3 |
4 |
100 |
4 |
4 |
5 |
101 |
5 |
5 |
6 |
110 |
6 |
6 |
7 |
111 |
7 |
7 |
8 |
1000 |
10 |
8 |
9 |
1001 |
11 |
9 |
10 |
1010 |
12 |
A |
11 |
1011 |
13 |
B |
12 |
1100 |
14 |
C |
13 |
1101 |
15 |
D |
14 |
1110 |
16 |
E |
15 |
1111 |
17 |
F |
16 |
10000 |
20 |
10 |