1.3.4. Метод lu - розкладання
Розв’язання
системи лінійних рівнянь алгебраїчних
рівнянь за допомогою методу LU
– розкладання зводиться
до наступного. Нехай задана система
. (36)
Представимо
матрицю
у вигляді добутку двох матриць
і
:
,
де
елементи
і
обчислюються за формулами:
(37)
(38)
Формули
(37)
і (38)
дають нам LU
– розкладання матриці
А.
Таким чином, якщо
,
то можна записати рівняння еквівалентне
(36):
, (39)
Яке можна представити
у вигляді системи
(40)
де
– деякий допоміжний вектор.
Таким
чином, розв’язання системи з квадратною
матрицею зводиться до розв’язання двох
систем з трикутними матрицями
коефіцієнтів:
(41)
і
(42)
Із
(35) і (36) зрозуміло, що всі
і
можуть бути обчислені за формулами:
(43)
. (44)
Приклад
2. Розв’язати
систему лінійних рівнянь методом Гаусса
з використанням стандартної процедури
пакетe
Mathcad
Розв’язання
систему лінійних рівнянь методом Гаусса
з використанням стандартної процедури
пакету Mathcad
виконується за наступним алгоритмом:
Сформувати
матрицю коефіцієнтів і вектор вільних
членів заданої системи.
Сформувати
розширену матрицю системи за допомогою
процедури
.
За
допомогою процедури
,
звести розширену матрицю до східчастого
вигляду.
Дістати
розв’язок системи, виділивши останній
стовпець матриці, одержаної в попередньому
пункті.
Виконати
перевірку, виконавши обчислення
матричного виразу.
18