5. Метод квадратних коренів
Метод
квадратних коренів
використовується для розв’язання
систем лінійних рівнянь з симетричними
додатними матрицями. У цьому випадку
матрицю А можна
представити у вигляді добутку двох
транспонованих між собою трикутних
матриць
,
тобто
. (30)
На основі множення матриць можна отримати наступні формули:
; (31)
. (32)
На основі формул (31), (32) можна побудувати наступну послідовність обчислення елементів матриці , яку зручно реалізувати в пакеті Mathcad:
(33)
де
.
Таким
чином, формули (33) дають можливість
знайти матриці
і
,
а отже і звести розв’язання вихідної
системи до розв’язання двох систем із
трикутними матрицями:
і
, (34)
або в розгорнутому вигляді:
і
(35)
Із рівностей (35) зрозуміло, що всі і можуть бути обчислені за формулами:
,
. (36)
Зауваження.
При дійсних
можуть мати місце чисто уявні
.
Метод квадратного кореня застосовують
і в цьому випадку.
Метод
квадратного кореня потребує
арифметичних операцій, тобто при великих
він вдвічі швидший за метод Гаусса і
потребує вдвічі менше оперативної
пам’яті.
Приклад 5. Розв’язати систему рівнянь методом квадратного кореня
На лістингу 8 наведено результати розв’язання заданої системи рівнянь методом квадратних коренів, а відповідні процедури – на лістнгах 9 і 10.
Лістинг 8. Розв’язання заданої системи рівнянь методом квадратного кореня
Лістинг 8. Процедура обчислення матриці
Лістинг 9. Реалізації алгоритмів (36)
ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ
Завдання 1. Знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь використавши методи:
1) Метод Гаусса з вибором головного елемента.
2) Матричну форму Методу Гаусса з вибором головного елемента.
3) Матричним методом, обчисливши обернену матрицю методом Гаусса з вбором головного елемента.
4) Методом LU-розкладання.
Варіанти індивідуальних завдань:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20
21.
Завдання 2. Знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь використавши метод квадратного кореня.
Варіанти індивідуальних завдань:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
ЛІТЕРАТУРА
1. Фельдман Л.П., Петренко А.І., Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці. К.: Видавнича група BHV, 2006. – 480 с.
2. Алексеев Е.П., Чесноков О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, VFTLAB 7, Maple 9. М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.
3. Ляшенко М.Я., Головань М.С. Чисельні методи: Підручник . К.: Либідь. 1996. – 288 с.
4 Конспект лекцій.