Лекция №1 аксиоматический метод

1. Содержание и цель формального обоснования математики

Современный аксиоматический метод является одной из форм так называемого формального обоснования математики. Выясним смысл и цель формального обоснования математики.

В каждой математической теории речь идет, вообще говоря, о некоторых объектах, их взаимных отношениях и связях. Так, например, в геометрии Евклида основными объектами (элементами) являются точки, прямые и плоскости. Их взаимные отношения выражают словами «лежит на», «между», «равный», «параллельный», «непре­рывный»; связи элементов и построенных из них геометрических фигур описываются в системе аксиом. До второй половины XIX века большинство математиков счи­тало геометрию научной дисциплиной, изучающей только, образования из тех точек, прямых и плоскостей, которые Евклид описал в своих «Началах». В первой половине XIX века Понселе и Жеpгoн установили принцип двойственности проективной геометрии, были открыты новые геометрии – геометрия Лобачевского и др. Эти факты показали ограниченность тра­диционного толкования предмета геометрии.

Прямые Евклида и прямые Лобачевского качественно различны; значит, различны и треугольники, которые можно из них построить. Рассуждая по-старому, было естественно предположить, что и все относящиеся к ним теоремы будут иметь различное содержание. Однако, оказалось, что это не так: каждая теорема геометрий Евклида, доказанная без привлечения аксиомы параллельности, справедлива в геометрии Лобачевского и наоборот, например теоремы «внешний угол треугольника больше каждого внутреннего, с ним не смежного»; «против большей стороны лежит больший угол» и т.п.

Чтобы разрешить эти «парадоксы», надо было признать, что геометрические теории дают описание не только свойств объектов из одной области объектов, но и описывают общее - структуру отношений и форм связей, в которых могут выступать объ­екты различных областей объектов. Надо было, далее расширить традиционное толкование предмета геометрии и признать, что основные понятия и положения, а значит и теоремы геометрических теорий допускают многие реальные истолкования, или как теперь принято говорить, допускают различные интерпретации.

Теперь эта общность форм связей одноименных объектов раз­личных интерпретаций каждой математической теории описывается в понятии изоморфизма. Если две области объектов (для объектов которых установлены свои отношения и связи) изоморфны, то они могут служить интерпретациями одной и той же математической теории.

Пусть А и В — две области объектов, которые рассматриваются с некоторыми определенными для них отношениями. Допустим, что:

1. Каждому объекту а области А соответствует один объект в области В, и наоборот.

2. Каждому отношению, рассматриваемому в области А, соответствует определенное отношение в области В, и нао­борот.

3. Если некоторые объекты a₁, a₂, ... области А связаны соот­ношением φ(a₁, a₂, ...) то соответствующие элементы в_1, в₂, ... области В связаны соответствующим соотношением ψ(в₁, в₂, ...), и наоборот.

В этом случае говорят, что области А и В изоморфны. Это и означает, что их структуры тождественны, что каждая из них может служить интерпретацией одной и той же математической теории. Пример изоморфного отображения дает принцип двой­ственности в проективной геометрии, так как проективное прост­ранство может быть изоморфно отображено на само себя с превра­щением точек в плоскости, а плоскостей в точки. Аналогично пред­ставление комплексных чисел в виде пар (х, у) действительных чи­сел или при помощи векторов, расположенных на плоскости, так как при соответствующих условиях множество всех пар (х, у) действительных чисел и множество векторов плоскости изоморфны.

Признание формального (всеобщего) характера ма­тематических теорий открывало широкий простор для дальнейшего развития математики. Оказалось, что

Логически мыслимы различные геометрические теории, по своим исходным положениям существенно отличающиеся от геометрии Евклида.

Геометрия - часть математики, представляющая науку о пространственных отношениях и формах тел, а также о других отношениях и формах действительности, сходных с простран­ственными по своей структуре.

Истинность каждой геометрической теории должна проверяться на практике (понимаемой в широком смысле слова, вплоть до прак­тики моделирования на объектах ранее обоснованных теорий.

Признание формального (всеобщего) характера математических теорий открывает широкий простор для использования методов одних математических теорий для решения задач других математических теорий. Классический образец такого рода дает теория групп с ее многочисленными предложениями.

Примерно во второй половины XIX столетия матема­тики пришли к формальному обоснованию математических дис­циплин. При формальном обосновании математической теории не сообщают, о каких объектах идет речь, не говорят, каков конк­ретный смысл отношений и связей, в которых могут выступать изучаемые объекты. Объекты, отношения и связи их только указываются. Но зато стараются наибо­лее точно и полно описать структуру основных отношений и связей, которые являются общими для объектов изучаемых об­ластей объектов.