3. Формула Эйлера

Отнесем поверхность к главным направлениям (т.е. выберем координатную сетку как в предыдущем пункте).

Т.к. направления ортогональны, то и кроме этого из уравнений и имеем: , и . Тогда

Пусть угол - угол между направлениями и . Поскольку направление задается отношением дифференциалов, то один из дифференциалов можно задать произвольно. Пусть - для первого направления и для второго направления (вдоль линии ) - , - произвольное. Тогда подставив все это в формулу нахождения угла между линиями имеем: .

Углы между направлением и линией равен , т.е. координатные линии и ортогональны. Для него найдем:

Учитывая полученные правила для тригонометрической функции, имеем (уравнение **):

– формула Эйлера (разложение нормальной кривизны)

Из формулы следует:

Т.е., если , то ;

если , то .

В обоих случаях нормальная кривизна заключена между главными кривизнами. Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальной кривизны.

4. Полная и средняя кривизны поверхности

Главные кривизны – инварианты поверхности, т.е. в неособых точках не зависят от координатной сетки на поверхности. Поэтому они важны при изучении поверхности. Неудобство главных кривизн состоит в том, что они как корни квадратного уравнения иррационально выражаются через коэффициенты квадратных форм. Поэтому составляют два других инварианта – их произведение и их сумму .

Первый из этих новых инвариантов называют полной гауссовской кривизной поверхности, а второй – средней кривизной поверхности. По теореме Виета получаем:

Эти коэффициенты уже есть рациональные функции от коэффициентов квадратичных форм.

Опр.: поверхность, средняя кривизна которой во всех точках равна нулю, называется минимальной поверхностью.

Примеры: 1) плоскость; 2) среди поверхностей вращения – катеноид; 3) среди линейных поверхностей – винтовая поверхность.

5. Типы точек на поверхности

Тип точки на поверхности зависит от знака гауссовской полной кривизны . Учитывая, что знаменатель правой части всегда положителен, имеем:

1. Если ( в точке ) точка называется эллиптической;

2. Если ( в точке ) точка называется гиперболической;

3. Если ( в точке )

Следствие 1: , то точка называется параболической;

Следствие 2: , то точка называется точкой уплощения.

6. Индикатриса Дюпена

Отложим из произвольной точки , принадлежащей поверхности в направлении отрезок, равный , где - нормальная кривизна поверхности в этом направлении.

Опр.: геометрическое место концов всех этих отрезков называется индикатрисой кривизны поверхности в точке (или индикатрисой Дюпена).

Найдем уравнения индикатрисы. Введя в касательной плоскости поверхности в точке декартову прямоугольную систему координат, где оси координат направлены вдоль векторов (базис). За начало координат возьмем точку касания.

Пусть - точка индикатрисы кривизны, соответствующая направлению . Следовательно . Вектор - единичный касательный вектор выбранного направления. По построению .

Тогда . Учитывая, что и , получим

– это и есть индикатриса Дюпена.

Замечание:

Индикатриса кривизны представляет собой эллипс в эллиптичкской точке , пару сопряженных гипербол – в гиперболической точке и пару параллельных прямых .

Соприкасающийся параболоид поверхности

1. Рассмотрим поверхность класса (дважды регулярную) в окрестности точки . Введем ДПСК, выбрав точку за начало координат, а касательную плоскость в этой точке за координатную плоскость . Ось направим по нормали к поверхности в точке . Тогда в выбранной системе координат имеем (при задании поверхности явным уравнением в некоторой точке ): (из уравнения касательной плоскости).

Раскладывая по формуле Тейлора функцию в окрестности точки , получаем:

С точностью до бесконечно малых более высокого порядка функцию можно заменить ее числовой частью: . График в общем случае является параболоид. Потому поверхность, заданная уравнением называется соприкасающимся параболоидом поверхности в точке .

Замечание:

Т.к. первые и вторые производные функций и в т. совпадают (коэффициенты 1^ой и 2^ой квадратичных форм выражаются только через первые и вторые производные функции), то в точке у поверхности и ее соприкасающегося параболоида одинаковые квадратичные формы, а значит и все геометрические характеристики, выражающиеся через них.

2. Деривационные формулы.

Аналогом формул Френе для поверхностей являются деривационные формулы. Эти формулы связывают производные от вектор-функций через эти векторы и коэффициенты 1^ой и 2^ой квадратичных форм. Т.к. векторы - линейно независимы, то имеет место представления:

Замечание: - коэффициенты Кристоффеля.

1. Т.к. , то и . Тогда . Аналогично получим, что .

2. Т.к. , то или . Аналогично . Т.к. , то , .

Поэтому

Аналогично:

3. Для коэффициентов Кристоффеля:

4. . Аналогично и . Таким образом, найдены все коэффициенты деривационных формул.

Основные уравнения теории поверхностей

Пусть поверхность класса (трижды регулярная), а также . Т.к. - трижды дифференцируемая, то по теореме Эйлера:

, а также .

Используя деривационные формулы, будем иметь:

Если в полученных уравнениях произвести дифференцирование и опять воспользоваться деривационными формулами, то получим уравнения:

Коэффициенты этих уравнений зависят только от коэффициентов 1^ой и 2^ой квадратичной формы и их производных. Т.к. векторы - линейно независимые, то получим девять скалярных равенств. Оказывается из этих девяти равенств различных только три. Они и являются основными уравнениями теории поверхности. Это уравнения: Петерсона – Кодацци и формула Гаусса. Эти уравнения показывают связь между коэффициентами 1^ой и 2^ой квадратичной формы гладкой поверхности класса (других связей нет).

Теорема Бонне:

Пусть в открытой области на плоскости переменных заданы две произвольные квадратичные формы: и , из которых 1^ая положительно определена и коэффициенты ее принадлежат классу , а коэффициенты 2^ой формы принадлежат классу . Тогда, если коэффициенты заданных форм удовлетворяют условиям Петерсона – Кодацци и Гаусса, то у любой точки найдется такая окрестность , что существует - гладкое отображение , задающее поверхность класса , для которой данные квадратичные формы являются соответственно 1^ой и 2^ой квадратичной формами. Эта поверхность единственна с точностью до перемещения.