Первая квадратичная форма поверхности

С регулярной поверхностью класса связаны две квадратичные формы. Первая квадратичная форма (ее еще называют метрикой поверхности) связана с внутренней геометрией поверхности.

Опр.: к внутренней геометрии поверхности относятся те понятия и факты, которые не меняются при изгибании поверхности. Эти понятия и факты определяются первой квадратичной формой.

Квадратичные формы

Пусть задано линейно-векторное пространство .

Опр 1: говорят, что в этом пространстве определена линейная форма , если каждому элементу поставлено в соответствие число и при этом выполняются следующие свойства:

1. , где , – аддитивности;

2. , где - число, - однородности

говорят о линейности .

Примеры: проекции вектора на ось , т.е.

1. 

2. 

Опр 2: под билинейной формой понимают скалярную функцию двух аргументов линейную по каждой из своих аргументов, т.е.

1. 

2. , - число

3. 

4. 

Примеры: скалярное произведение двух векторов:

Если в пространстве выбрана система координат с базисом , то линейную и билинейную формы можно записать в этом базисе следующим образом:

Здесь - вектор линейной формы и - матрица билинейной формы, числа и - координаты векторов и в выбранном базисе.

Опр 3: билинейная форма называется симметричной, если и кососимметрической, если .

Для того чтобы билинейная форма была симметричной необходимо и достаточно, чтобы ее матрица была симметрична, т.е. .

Для каждой симметричной билинейной формы можно построить единственным образом квадратичную форму, отождествляя ее аргументы, тогда получим: при .

Опр 4: функция называется квадратичной формой и в выбранном базисе ее можно представить:

Матрица - симметричная. Можно в пространстве найти базис, в котором квадратичная форма, имеет вид:

Замечание: существует базис в пространстве , в котором квадратичная форма имеет специальный наиболее простой канонический вид:

Первая квадратичная форма (основная гауссовская дифференциальная форма)

Линейный элемент.

1. В декартовой системе координат:

2. В аффинной системе координат:

3. На регулярной поверхности:

При бесконечно малом приращении криволинейный можно рассматривать как прямолинейный, т.е. , (как хорды стягивающие дуги). Тогда

Если поверхность параметризована вектор-функцией , то

Получаем, что

Замечание:

Вместо , можно ставить и получаем дифференциальную форму:

Уравнения называется 1^ой квадратичной формой, если ввести следующие коэффициенты:

И учитывая, что , окончательно получим:

Замечание:

1. Квадратичная форма представляет двумерный вариант метрики поверхности. Первая квадратичная форма не определяет однозначно форму поверхности.

2. Метрические коэффициенты , и определяют не только длины всех кривых на поверхности, но и вообще результат всех измерений на поверхности.

3. Все геометрические величины, которые определяются только при помощи коэффициентов первой квадратичной формы, не меняются при изгибаниях поверхности и являются внутренне геометрическими.

Другой способ определения 1ой квадратичной формы.

Опр.: дифференциальной формой называется всякий однородный многочлен относительно дифференциалов – аргументов:

1. Полный дифференциал радиус-вектора текущей точки поверхности является инвариантной линейной дифференциальной формой: . Тем же свойством инвариантности обладает и скалярный квадрат этой формы.

2. Опр.: скалярный квадрат полного дифференциала радиус-вектора текущей точки поверхности называется 1^ой квадратичной формой поверхности:

Свойства 1^ой квадратичной формы:

1. Первая квадратичная форма поверхности является положительно определенной.

Опр.: квадратичная форма называется положительно определенной, если и имеем .

Действительно, если и , то , т.е. векторы и - линейно независимые, поэтому .

С другой стороны, можно показать, “дискриминант” 1^ой квадратичной формы , т.к.

Значит поэтому 1^ая квадратичная форма положительно определена.

2. Первая квадратичная форма не зависит от выбора параметризации поверхности.

Следствия:

1. Если поверхность задана параметрически: тогда: и

и

2. В случае явного задания поверхности: получаем (пусть ) и используя предыдущее следствие:

Геометрический смысл коэффициентов 1^ой квадратичной формы

1. Коэффициент : . Коэффициент есть квадрат производной длины дуги координатной линии по ее же параметру.

2. Коэффициент : коэффициент есть квадрат производной длины дуги координатной линии по ее же параметру.

3. Коэффициент : , если координатные линии ортогональны в данной точке.

Замечание: знак коэффициента зависит от .

Вывод: коэффициент используется для вычисления угла между координатными линиями.