2.3 Приложение дифференциального исчисления.

Пусть дана функция и точка .

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид

. (2.7)

Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид

. (2.8)

Дифференциальное исчисление используется и для нахождения приближённого значения функции. Если необходимо найти значение функции в точке , то

. (2.9)

3. Исследование функции.

3.1 Монотонность функции.

Пусть функция непрерывна на интервале .

Функция называется возрастающей на , если для любых и из этого интервала, причём выполняется условие .

Функция называется убывающей на , если для любых и из этого интервала, причём выполняется условие .

Монотонность функции на интервале можно определить с помощью производной. Пусть функция дифференцируема на интервале . Тогда, если в каждой точке этого интервала , то функция возрастает, а если , то функция убывает на этом интервале.

3.2 Экстремумы функции.

Точка называется точкой максимума функции , если существует окрестность точки , такая, что, для любого из этой окрестности выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции , если существует окрестность точки , такая, что, для любого из этой окрестности выполняется неравенство .

Значение функции в точке минимума или максимума называется экстремумом функции.

Функция может иметь экстремум только в критических точках, т.е. в точках, в которых она определена, а её производная равна нулю или не существует.

Пусть критическая точка функции . Если при переходе через неё (слева на право) производная функции меняет знак с «+» на «–», то – точка максимума, а если с «–» на «+», то – точка минимума.

3.3 Выпуклость, вогнутость. Точки перегиба.

График дифференцируемой функции называется выпуклым на , если он расположен выше любой её касательной на этом интервале.

График дифференцируемой функции называется вогнутым на , если он расположен ниже любой её касательной на этом интервале.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклые и вогнутые части, называется точкой перегиба.

Промежутки выпуклости и вогнутости функции определяем при помощи производной второго порядка. Пусть функция определена во всех точках интервала . Тогда, если в каждой точке этого интервала , то график функции является выпуклым на , а если , для любого , то график функции является вогнутым на .

Пусть в точке вторая производная непрерывной функции равна нулю или не существует. Тогда, если при переходе через эту точку вторая производная меняет свой знак, то – точка перегиба.

3.4 Асимптоты графика функции.

Асимптоты – это прямые к которым неограниченно приближается данная линия, когда её точка неограниченно удаляется от начала координат.

Асимптоты бывают вертикальными и наклонными.

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если .

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид

, где и . (3.1)