Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Ковровская государственная технологическая академия
имени В.А. Дегтярева»
Пределы. Производные.
Контрольная работа по математике для заочного отделения.
Миронова Е.А.
Юлина Н.А.
г. Ковров 2013 г.
Методические указания предназначены в качестве пособия для студентов заочного отделения технических специальностей. Содержат в себе сжатый теоретический материал и индивидуальные задания к первой контрольной работе по математике.
1. Предел функции.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
,
кроме, быть может, самой этой точки.
Число
называется пределом функции
при
, если для любого положительного
числа
найдется такое положительное число
,
что для всех
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Записывают:
.
Перечислим свойства пределов функции, которые облегчают решение задачи отыскания пределов:
1.
,
где
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6. если
и
,
то
.
При этом
предполагается, что все пределы
существуют. Точка
может быть как действительным числом,
так и
.
Если при отыскании пределов функций возникает ситуация, когда невозможно напрямую применить вышеперечисленные свойства, то имеет место неопределенность и возникает задача раскрытия неопределенности.
Наиболее
часто встречаются неопределенности
вида:
,
,
,
.
Рассмотрим некоторые методы раскрытия этих неопределенностей.
1.1 Неопределенность . Отношение многочленов.
Если Pn(x)
и Q m(x)
– многочлены степени n
и m, и
и
,
то при вычислении
имеем неопределённость
.
Для её раскрытия делим числитель и
знаменатель на х в наибольшей
степени. При этом стоит помнить, что
и
.
1.2 Неопределенность .
а) Отношение многочленов.
Если
и
,
то при вычислении
имеем неопределённость вида
.
Для её раскрытия необходимо числитель
и знаменатель разложить на простейшие
множители, т.е. представить функции
и
в виде:
и
,
где
и
.
Тогда
При этом
.
б) Первый замечательный предел.
Для отыскания
пределов функций вида
(здесь
– некоторая функция) может быть
использован так называемый первый
замечательный предел
.
(1.1)
в) Общий случай.
Если , то называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) в окрестности точки .
Две б.м.ф.
и
называются эквивалентными б.м.ф. в
окрестности точки
,
если
,
и обозначают
,
при
.
Стоит отметить,
что предел отношения двух б.м.ф. не
изменится, если каждую или одну из них
заменить эквивалентной ей б.м.ф., т.е.
если
и
,
то
.
(1.2)
Приведем
таблицу важнейших эквивалентностей
при
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
