4. Решение типового варианта.
Задача № 1. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Представим подынтегральную
функцию в виде суммы, разделив почленно
числитель на
,
а затем применим свойства и таблицу
интегралов.
.
Задача № 2. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Приведем данный интеграл к табличному виду, воспользуемся свойством 6 и таблицей интегралов.
.
Задача № 3. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Учитывая, что
,
то удобно выполнить замену переменной
по формуле (1.1). Пусть
,
тогда
и
.
Получим
.
Задача № 4. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Представим данный интеграл в виде разности двух интегралов.
.
В первом интеграле выполним замену
переменной:
,
тогда
и
.
Второй интеграл легко сводится к
табличному. Получим:
.
Задача № 5. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь. Выделим целую часть дроби:
.
Получим
.
Задача № 6. Вычислить неопределенный интеграл
.
Решение. Для вычисления данного
интеграла воспользуемся формулой
интегрирования по частям (1.2). Положим:
,
а
,
тогда
и
.
Получим
.
Задача № 7. Вычислить определенный интеграл
.
Решение. По формуле (1.5) выполним
замену переменной в определенном
интеграле. Пусть
,
тогда
и
.
Заменим пределы интегрирования:
,
.
Применяя формулу Ньютона–Лейбница, получим
.
Задача № 8. Вычислить определенный интеграл
.
Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям для определенного интеграла (1.4).
.
Задача № 9. Вычислить несобственный интеграл
.
Решение. Выполним сначала замену
переменной. Пусть
,
тогда
.
Изменим пределы интегрирования:
,
.
Затем применим формулу (1.8). Получим
.
Задача № 10. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной линиями
.
Решение. Определим пределы
интегрирования. Для этого найдём точки
пересечения графиков функций
:
.
Фигура ограничена сверху графиком
функции
,
снизу – графиком функции
.
Поэтому, согласно формуле (1.7) получим
.
Ответ:
кв.ед.
Задача № 11. Найти общее решение дифференциального уравнения
а)
.
Решение. Учитывая, что
,
сведем данное уравнение к уравнению с
разделяющимися переменными:
.
Интегрируем полученное уравнение:
.
Общее решение в итоге имеет вид:
.
б)
.
Решение. Преобразуем это уравнение к виду (2.1). Получим уравнение с разделяющимися переменными
,
,
.
Разделим получившееся уравнение на
.
Получим:
.
Проинтегрируем:
,
где
.
Применяя свойства логарифма, получим
общее решение:
.
Задача № 12. Найти решение задачи Коши
.
Решение. Данное уравнение является
линейным. Преобразуем его к виду (2.5),
разделив на
.
Получим
.
Решим это уравнение методом Бернулли.
Выполним замену:
,
,
где
и
– неизвестные функции, одна из которых
произвольная. Пусть
– произвольная функция, тогда после
подстановки
и
получим:
или
.
(*)
Одно из возможных значений найдем из уравнения
или
.
Разделяем переменные и интегрируем:
.
Подставим найденную функцию в уравнение (*) и найдем функцию .
.
Интегрируя, получим
.
Искомое общее решение принимает вид
или
.
Найдем частное решение, удовлетворяющее
начальному условию
.
Тогда решение задачи Коши имеет вид:
.
Задача № 13. Найти решение задачи Коши
.
Решение. Это уравнение второго порядка. Его решение будем искать путем 2-кратного интегрирования:
.
Найдем значение произвольной постоянной
из условия
:
.
Тогда получим:
.
Интегрируя эту функцию, найдем общее решение исходного уравнения
.
Определим значение
.
Т.к.
,
то получим:
.
Решение задачи Коши, т.е. решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:
.
Задача № 14. Найти общее решение дифференциального уравнения
а)
;
б)
;
в)
.
Решение. Данные уравнения являются линейными однородными уравнениями с постоянными коэффициентами. Общее решение имеет вид: , где и – частные решения этих уравнений и их вид зависит от решения характеристических уравнений.
а) .
Составим и решим характеристическое уравнение:
.
Т.к. корни уравнения действительные не совпадающие числа, то согласно (2.14) получим:
.
Общее решение имеет вид:
.
б) .
Решаем характеристическое уравнение:
.
Получили совпадающие действительные корни и по формуле (2.15) имеем:
.
Получим общее решение:
или
.
в) .
Решаем характеристическое уравнение:
.
Получили комплексно сопряженные корни и согласно (2.16) имеем:
.
Общее решение имеет вид:
или
.
Задача № 15. Найти общее решение дифференциального уравнения
,
если а)
,
б)
.
Решение. Данное уравнение является
линейным неоднородным уравнением с
постоянными коэффициентами. Структура
общего решения, согласно (2.18) имеет вид:
.
Общее решение однородного уравнения,
а именно
,
в обоих случаях одно и то же. Найдем
его, решая однородное уравнение
.
Решим характеристическое уравнение:
.
Тогда
.
Найдем теперь .
а) Так как
и
не является корнем характеристического
уравнения, т.е. кратность его
,
и
– многочлен первой степени, то по
формуле (2.19) получим:
или
.
Для определения
и
найдем
и
:
,
.
Подставим , и в исходное уравнение
.
Сократим на
и приведем подобные слагаемые
.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой части и решим получившуюся систему
Тогда
или
.
Общее решения принимает вид:
.
б) Функцию
легко свести к специальному виду, а
именно к виду
.
Т.к.
не является корнем характеристического
уравнения, т.е. кратность его
,
то по формуле (2.20) получим
или
.
Найдем и , и подставим , и в исходное уравнение
;
.
Тогда
,
или
.
Приравниваем коэффициенты при одноименных тригонометрических функциях левой и правой частях. Решим получившуюся систему
Тогда
.
Запишем общее решение:
.