2. Дифференциальные уравнения.
2.1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
Уравнение вида
,
где
– независимая переменная,
– искомая функция,
– её производная, называется
дифференциальным уравнением первого
порядка.
Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция, которая при подстановке в уравнение превращает его в тождество.
Условие, что при
функция
называется начальным условием.
Функция,
,
содержащая одну произвольную постоянную
называется общим решением.
Функция
,
полученная из общего решения и
удовлетворяющая начальному условию,
называется частным решением.
Рассмотрим методы интегрирования некоторых уравнений первого порядка.
Уравнение с разделяющимися переменными – это уравнение вида:
,
(2.1)
где
,
,
и
– известные функции, зависящие только
от
или
.
Если ни одна из этих функций не равна
тождественно нулю, то разделив уравнение
(2.1) на
,
получим уравнение с разделенными
переменными:
.
(2.2)
Проинтегрировав это уравнение, получим общее решение исходного уравнения:
.
(2.3)
Уравнение
сводится к уравнению с разделенными
переменными. Учитывая, что
,
получим уравнение вида:
.
(2.4)
Линейное уравнение – это уравнение вида:
,
(2.5)
где
и
– заданные функции.
Для решения его рассмотрим метод
Бернулли. Выполним подстановку
,
где
и
– две неизвестные функции, причем одна
из которых произвольная. Тогда уравнение
(2.5) сводится у виду
или
.
(2.6)
Предполагая, что
– произвольная функция, найдем одно
из ее решений из уравнения
,
например,
.
(2.7)
Тогда уравнение (2.6) сведется к виду:
или
,
т.е
.
(2.8)
Решая уравнение (2.8), получим:
.
(2.9)
Общее решение исходного уравнения находится умножением на :
.
(2.10)
2.2. Дифференциальные уравнения второго порядка.
Общий вид уравнения второго порядка:
.
Начальные условия принимают вид:
и
.
Общим решением является функция
,
содержащая две произвольных постоянных
и
.
Частным решением называется функция
,
полученное из общего решения,
удовлетворяющее начальным условиям.
Рассмотрим только некоторые уравнения второго порядка.
Уравнения вида
.
Решение этого уравнения находится
2-кратным интегрированием, а именно:
,
,
.
(2.11)
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Это уравнения вида:
,
(2.12)
где
и
– некоторые действительные числа.
Общим решением является функция
,
где
и
– частные решения уравнения (2.12). Для
их определения решаем характеристическое
уравнение
.
(2.13)
Пусть
и
– корни уравнения (2.13), тогда возможны
следующие случаи:
1) если
и
– действительные числа, причем
,
тогда:
и
;
(2.14)
2) если
и
– действительные числа, и
,
тогда:
и
;
(2.15)
3) если
и
– комплексные числа, т.е.
,
тогда:
и
.
(2.16)
Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения имеют вид:
,
где
– заданная функция.
(2.17)
Структура общего решения уравнения (2.17) определяется следующим образом:
,
(2.18)
где
– общее решение однородного уравнения
(2.12), которые определяются по формулам
(2.14)–(2.16), а
– частное решение уравнения (2.17).
Метод нахождения частного решения зависит от функции . Остановимся только на случае, когда – функция специального вида.
1) Пусть
,
где
– действительное число, а
– многочлен степени
.
Частное решение ищем в виде
,
(2.19)
где
– число, равное кратности
как корня характеристического уравнения
(2.13), а
– многочлен степени
с неопределенными коэффициентами
.
Для определения этих коэффициентов,
подставим
в уравнение (2.17), сократим на
.
Получим слева многочлен степени
с неопределенными коэффициентами
,
справа – многочлен степени
,
но с известными коэффициентами.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях
,
получим систему алгебраических уравнений
для определения коэффициентов
.
2) Пусть
,
где
,
,
и
– действительные числа. Тогда частное
решение ищем в виде
,
(2.20)
где
– число, равное кратности
как корня характеристического уравнения
(2.13), а
и
– неопределенные коэффициенты.
После подстановки в уравнение (2.17) и сократив на , приравниваем коэффициенты, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой части уравнения.
Замечание: форма (2.20) частного
решения сохраняется и в случаях, когда
или
.