2.10.1. Расчеты на прочность при изгибе

При проектном расчете требуется определить минимальные раз­меры опасного поперечного сечения, которые обеспечат при задан­ной нагрузке необходимую прочность. Изгибающий момент в опас­ном сечении и материал балки (следовательно, допускаемые на­пряжения тоже) известны. Как и в случае других деформаций, расчет ведут в предположении, что максимальные действительные напряжения будут равны или несколько меньше допускаемых, т. е.

≤ [σ_И] ,

отсюда

W ≥ .

Затем в зависимости от предполагаемой формы поперечного сече­ния балки определяют его необходимые размеры. Если сечение балки круглое, то W=0,1 d³, откуда находится искомый диаметр d. Если же сечение балки представляет собой квадрат со стороной а, то искомый размер находят из равенства

W = .

Несколько сложнее определить размеры прямоугольного сече­ния балки. В этом случае необходимо знать ориентацию сечения по отношению к действующему моменту, т. е. надо знать положе­ние нейтральной оси. Знание положения нейтральной оси позволит из двух зависимостей

W = , W = .

выбрать необходимую. Однако определить величины b и h можно будет лишь при условии, если известно отношение . Если сече­ние представляет собой стандартный профиль (двутавр, швеллер), то по полученной в расчете величине W из справочных таблиц под­бирают номер соответствующего профиля. Причем табличное зна­чение W_табл должно быть больше расчетной величины W или рав­но ей.

При проверочном расчете определяют максимальные действи­тельные напряжения, т. е. напряжения в наиболее опасных точ­ках опасного сечения и сравнивают их с допускаемыми. В этом случае предварительно находят изгибающий момент в опасном се­чении и момент сопротивления в этом сечении балки:

σ_{И max} = ≤ [σ_И] .

2.10.2. Определение опасного сечения при изгибе

Выше отмечалось, что одно из отличий деформации изгиба от деформации растяжения (при рассмотренных выше случаях нагружения) — наличие опасного сечения, т. е. сечения, в котором действует максимальный изгибающий момент.

Очевидно, надо научиться определять положение опасного сечения балки и изги­бающий момент в этом сечении. Анализ простейшего случая

Рис. 24. Построение эпюры изгибаю- Рис.25. Построение эпюры изги-

щих моментов для одноопорной (кон- бающих моментов для двухопор-

сольной) балки: ной балки:

а — схема действия внешней силы; б , в — а — схема действия внешней силы; б —

равновесие отсеченных частей; г—эпюра равновесие балки под действием внеш-

изгибающих моментов. ней силы и опорных реакций; в — эпю­ ра изгибающих моментов.

нагружения балки (см. рис. 22) позволил найти положение опасного сечения, опираясь лишь на опыт. Снова вернемся к этому случаю и приведем более строгие доказательства. Балку теперь изобразим упрощенно (рис. 24, а). Для определения внутренних силовых факторов воспользуемся ме­тодом сечений. Так как этот метод применим лишь к свободному телу, то будем рассматривать равновесие отсеченной правой части (рис. 24, б). В сечении 1 будут действовать поперечная сила Q = P и изгибающий момент М_И=Рz₁. Рассмотрим теперь сечение 2 (рис. 24, в). В нем будет действовать та же сила Q, но момент будет другой — Рz₂. Аналогичные результаты получим и для дру­гих сечений. Мы уже условились, что поперечными силами и вы­званными ими касательными напряжениями сдвига будем прене­брегать. Все внимание сосредоточим на изгибающем моменте, величина которого, как это ясно из предыдущих рассуждений, изме­няется по длине балки по линейному закону — пропорционально отрезкам z₁, z₂ и т. д.

Этот закон можно изобразить графически – построить эпюру (график изменения) моментов. Выбрав масштаб для единицы измерения момента, откладываем от осевой линии эпюры (рис. 24, г) ординату, соответствующую величине наибольшего момен­та— Рl (условимся момент считать положительным, если он про­гибает балку выпуклостью вниз, следовательно, в данном случае момент отрицательный).

Вторая точка для построения графика соответствует свободно­му концу балки. В этом сечении момент равен нулю. Соединив точ­ки а и б, получим график изменения изгибающего момента по дли­не балки, т. е. эпюру моментов. Промежуточные между точками а и б ординаты соответствуют моментам в соответствующих сече­ниях. Итак, для данного случая получили, что опасное сечение — в заделке, а изгибающий момент в нем равен Pl.

Разберем более сложный случай, когда балка двухопорная и нагружена силой в середине пролета (рис. 25, а). Здесь сразу нельзя применить метод сечений, так как по любую сторону от се­чения оказывается несвободная часть балки со связями. В подобных случаях надо вначале отбросить опоры и заменить их реакциями (рис. 25, б). Каждая из реакций равна . Применяя много­кратно метод сечений, вначале рассмотрим равновесие отсеченных частей балки, расположенных правее любого из сечений, проведен­ных на участке от правого конца балки до середины пролета. Результат очевиден: если на конце балки момент равен нулю, то к середине пролета он возрастает до значения * , т. е. . Затем точно так же рассмотрим равновесие отсеченных частей бал­ки, расположенных левее любого из сечений, проведенных на уча­стке от левого конца балки до середины пролета. Результаты бу­дут аналогичными. Выбрав масштаб единицы момента и устано­вив, что изгибающий момент положителен, отложим вверх по оси ординату и построим эпюру М_и (рис. 25, в). По эпюре вид­но, что в данном случае опасное сечение находится в середине про­лета, момент М_и в опасном сечении равен . Именно эту ве­личину надо будет подставить в расчетное уравнение при проект­ном или проверочном расчете балки на изгиб.