Элементы математической логики Понятие высказывания

Мысли человека выражаются в определённых предложениях. С помощью различных предложений высказываются различные суждения. Например, предложения: «17 – простое число»; «14 – нечётное число». Оценивая справедливость этих суждений, можно сказать, что первое предложение верное (истинное), а второе – неверное (ложное).

5. Утверждения, для которых имеет смысл говорить, истинны они или ложны, называют высказываниями.

Предложения: «Здравствуйте», «Решите задачу» – не являются высказываниями (о них нельзя сказать истинны они или ложны). Математическое предложение «(ab)c=d» высказыванием не будет, а «(2510)2=30» – будет.

Не являются высказываниями математические предложения, содержащие переменную, т.к. оценить их истинность невозможно: 3х+16=46; 7–2x>9; х=12,5. Однако каждое подобное предложение будет называться высказыванием при замене переменной любым конкретным числом. Такие предложения называются предикатами.

Сложное высказывание

6. Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Если это условие не выполняется, то высказывание называется сложным.

5. «Сергей – не блондин, северодвинец, студент медицинского колледжа». Это сложное высказывание можно разделить на три простых: «Сергей – не блондин», «Сергей – северодвинец», «Сергей – студент медицинского колледжа».

Всякое простое высказывание будем обозначать далее прописными буквами латинского алфавита.

Логические операции

Сложное предложение в русском языке образуется при помощи логических связок (союзов «и», «или», частицы «не» и т.п.): «Сергей Петров – не блондин и северодвинец или студент медицинского колледжа».

7. Преобразование одного или нескольких высказываний при помощи логических связок называется логической операцией.

Сложное высказывание может являться истинным или ложным в зависимости от истинности исходных простых.

Решающий вклад в алгебраизацию логики внёс английский математик Джордж Буль, предложивший истинным высказываниям присваивать значение =1, а ложным – значение =0.

Отрицание высказывания

Простейшая логическая операция, соответствующая по смыслу частице «не», – это отрицание.

6. Имеется высказывание A: «Прямая a параллельна прямой b». Тогда отрицанием этого высказывания является высказывание «Прямая a не параллельна прямой b». Последнее высказывание называют «не A», а операцию отрицания высказывания A обозначают: A.

Составим таблицу истинности высказывания A и его отрицанияA: если высказывание A ложно (его значение равно нулю), тогда высказываниеA истинно (его значение равно единице), и наоборот.	A	A
	0	1
	1	0

8. Отрицанием высказывания A называется такое высказываниеA, которое истинно, если данное высказывание ложно, и ложно, если данное высказывание истинно.

Конъюнкция высказываний

Составим сложное высказывание из двух простых при помощи союза «и».

A: «Сергей– северодвинец»;

B: «Сергей– студент медицинского колледжа».

Тогда A и B: «Сергей – северодвинец и студент медицинского колледжа».

Операция объединения высказываний при помощи союза «и» называется конъюнкцией высказываний (от латинского «conjunctio» – союз, связь) и обозначается «AB».

Конъюнкцией высказываний A и B называется такое высказывание AB, которое истинно в том и только том случае, если истинны оба данных высказывания A и B. Тогда таблица истинности конъюнкции высказываний «A и B» в соответствии с определением выглядит так:	A	B	AB
	0	0	0
	0	1	0
	1	0	0
	1	1	1