4.7. Моделирование нормально распределенных случайных величин.

4.7.1. Аналитические методы.

Теорема 4. Пусть и случайные величины, равномерно распределенные на отрезке . Из данных случайных величин образуем случайную величину , случайную величину , и случайную величину . Введем случайную величину, заданную по правилу

.

Тогда случайные величины и являются независимыми и имеют стандартное нормальное распределение.

Доказательство. Все значения пары случайных величин при условии являются координатами точек, равномерно распределенных внутри единичного круга. Тогда данные случайные величины могут быть выражены через полярные координаты , , где . Следовательно, и . Таким образом, . Поскольку по построению равномерно распределена на отрезке , то и плотность распределения вероятностей . Найдем совместную функцию распределения для и

Теорема доказана.

Алгоритм моделирования 1 ( стандартно нормально распределенных чисел ):

1. и .

2. Моделируем две независимые случайные величины, равномерно распределенные на [0; 1] реализацией которых будут выборки чисел: и . Преобразуем данные последовательности в и , где , .

3. Вычисляем величину .

4. Если , то и возвращаемся к шагу 3, в противном случае переходим к шагу 5 алгоритма.

5.

6. Если , то и возврат к шагу 3, в противном случае алгоритм завершает свою работу.

7. Последовательности случайных чисел и будут являться независимыми, и иметь стандартное нормальное распределение.

Теорема 5.Пусть случайная величина и , где функция Лапласа, тогда , то есть имеет нормальный закон распределения с параметрами и .

Доказательство. По определению функции распределения

,

где .

Следовательно, . Таким образом, случайная величина имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным и среднеквадратичным отклонением равным . Теорема доказана.

Следствие. Если последовательность случайных чисел является выборкой равномерно распределенной на [0;1] случайной величины, то последовательность , где является выборкой случайной величины, имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным и дисперсией равной .

Теорема 6. Случайные величины , а случайные величины и заданны формулами: и . Тогда случайные величины и являются независимыми.

Доказательство теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 5.

Алгоритм моделирования 2 ( стандартно нормально распределенных чисел ):

1. .

2. Моделируем две независимые случайные величины, равномерно распределенные на [0; 1] реализацией которых будут выборки чисел: и .

3. Вычисляем величины и .

4. Если , то и возвращаемся к шагу 3, в противном случае переходим к шагу 5 алгоритма.

5. Алгоритм закончил свою работу: последовательности случайных чисел и будут являться независимыми, и иметь стандартное нормальное распределение.

4.7.2. Приближенное моделирование нормального распределения. Рассмотрим нормированную сумму равномерно распределенных величин на интервале (0;1):

. (6)

Согласно предельно теореме 4.1.8 при .

Следовательно, по формуле (6) при достаточно больших можно вычислять приближенное значение нормальной случайной величины с параметрами (0;1), таким образом .