
- •Глава 4. Статистическое моделирование.
- •4.1. Статистическая модель. Сущность статистического моделирования
- •4.2. Моделирование дискретных случайных величин.
- •4. 3 Моделирование случайных событий.
- •4.4. Моделирование однородной марковской цепи.
- •4.5 Моделирование зависимых дискретных случайных величин.
- •4.6 Моделирование непрерывных случайных величин.
- •4.7. Моделирование нормально распределенных случайных величин.
- •4.7.1. Аналитические методы.
- •4.8. Моделирование многомерных случайных величин.
- •4.9 Алгоритмы генерирование некоторых случайных величин наиболее часто используемых распределений.
- •4.10. Упражнения.
4.4. Моделирование однородной марковской цепи.
Простая однородная цепь Маркова определяется матрицей переходов
,
где
—
вероятность перехода из состояния
,
в состояние
и вектором начальных состояний
,
где
.
Матрица
переходов Р полностью описывает
марковский процесс.
Так как сумма элементов каждой строки
равна 1, то данная матрица является
стохастической, т. е.
.
Пусть
-
вероятность,
что система будет
находиться в состоянии
после
переходов.
По определению
.
Пусть
возможными исходами
испытаний являются события
и
—
это условная вероятность наступления
события
в
данном испытании при условии, что исходом
предыдущего испытания было событие
.
Моделирование
такой цепи Маркова состоит в последовательном
выборе событий
по
жребию с вероятностями
.
Последовательность действий алгоритма следующая:
0) Подготовительный этап. Генерируем последовательность равномерно распределенных чисел на интервале (0;1):
(4)
1)
Выбор начального состояния.
Выбор начального состояния
,
задаваемого начальными
вероятностями
,
осуществляется по алгоритму моделирования
полной группы событий (см. 4.3.2).
Из последовательности
(4) выбирается число
и
определяется номер,
для которого оказывается справедливым
неравенство
,
где
.
Тогда начальным событием данной
реализации цепи будет событие
.
2)
Определение первого перехода.
Выбираем следующее случайное число
,
аналогично определяем номер
следующего события, для которого
оказывается справедливым неравенство
,
где
.
Таким образом, следующим событием данной
реализации цепи будет событие
.
в)
Определение s-того
перехода.
Пусть в результате
перехода произошло событие с номером
:
.
Выбираем случайное число
,
определяем номер
следующего события, для которого
оказывается справедливым неравенство
,
где
.
Таким образом, событием
той
реализацией цепи будет событие
.
И так далее.
Марковский процесс называют эргодическим, если предельное распределение вероятностей не зависит от начальных условий . Поэтому при моделировании эргодического Марковского процесса можно принять следующее условие
4.5 Моделирование зависимых дискретных случайных величин.
Рассмотрим две дискретные случайные величины и , для которых задан совместный закон распределения вероятностей
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В первой строке помещены возможные значения случайной величины , а в первом столбце возможные значения случайной величины (без повторений значений для каждой из них). На пересечении той строки и того столбца располагаются значения вероятностей
.
Пусть
событие,
состоящее в том, что случайная величина
приняла значение
,
а случайная величина
приняла значение
.
Введем новую случайную величину
,
принимающую значения номеров событий
,
.
Далее остается применить алгоритм
пункта 4.3.2, для моделирования полной
группы событий
.