
- •Глава 4. Статистическое моделирование.
- •4.1. Статистическая модель. Сущность статистического моделирования
- •4.2. Моделирование дискретных случайных величин.
- •4. 3 Моделирование случайных событий.
- •4.4. Моделирование однородной марковской цепи.
- •4.5 Моделирование зависимых дискретных случайных величин.
- •4.6 Моделирование непрерывных случайных величин.
- •4.7. Моделирование нормально распределенных случайных величин.
- •4.7.1. Аналитические методы.
- •4.8. Моделирование многомерных случайных величин.
- •4.9 Алгоритмы генерирование некоторых случайных величин наиболее часто используемых распределений.
- •4.10. Упражнения.
Глава 4. Статистическое моделирование.
4.1. Статистическая модель. Сущность статистического моделирования
4.1.1. Статистическая модель. При статистическом (стохастическом) моделировании основными объектами моделирования являются случайные события, случайные величины и случайные функции.
При проведении экспериментов исследователь фиксирует появление или не появления интересующих событий, а также осуществляет измерения значений параметров, которые носят случайный характер и по своей сути являются значениями реализации некоторой случайной величины.
Статистическое моделирование дает возможность не проводя реальных экспериментов над исследуемым объектом (что в большинстве случаев требует больших материальных и финансовых затрат) получать соответствующую информацию о появлении или не появлении тех или иных событий происходящих в реальном объекте. о выборочных значениях случайных величин на основе имеющихся вероятностных характеристик моделируемых событий и случайных величин. Данный вид моделирования предполагает проведение предварительного сбора информации о моделируемых показателях и дальнейшей статистической обработки полученных результатов с целью получения обоснованных статистических оценок, требуемых для моделирования вероятностных характеристик.
Стохастические модели применяются в основном в двух случаях:
1) объект моделирования плохо изучен – не имеется достаточно хорошо разработанных количественных закономерностей, описывающих рассматриваемые процессы и явления, а так же нет возможности найти приемлемое аналитическое решение данной проблемы;
2) моделируемый объект изучен достаточно хорошо в детерминированном плане, но без учета случайных факторов, оказывающих влияние на изучаемые процессы и явления.
В первом случае на основе словесного описания исследуемого объекта производится выбор количественных показателей с расчетом их физической размерности состоящих из двух групп. Одна из групп рассматривается в качестве входных величин модели, а другая – выходных величин. Далее, применяя научные теоретические результаты полученные другими исследователями в данной области и возможно применяя ряд необходимых допущений, а так же возможно уже имеемые экспериментальные данные о входных и выходных величинах (например, об их законах распределения) устанавливают детерминированные или стохастические зависимости между входными выходными величинами модели. Совокупность полученных соотношений между входными и выходными величинами (обычно записываются в виде уравнений) называют статистической моделью.
В ходе реализации статистической модели на основе выбранных законов распределения случайных величин и выбранными вероятностями моделируемых событий методами математической статистики определяются выборочные до экспериментальные значения случайных величин и квазиэмпирические последовательности появления или не появления моделируемых событий. Далее, по уравнениям модели определяют соответствующие выборочные значения ее выходных величин. А многократная реализация построенной модели позволяет исследователю построить модельную выборку ее выходных величин, которая вновь подвергается статистическому анализу (корреляционному, регрессивному, дисперсионному, спектральному) с целью получения оценок характеристик выходных параметров модели или проверки выдвигаемых гипотез. На основе полученных результатов делаются заключения по объекту исследования, а также обоснования по практическому применению построенной модели.
Методы статистического моделирования широко применяются при решении задач массового обслуживания, теории оптимизации, теории управления, теоретической физике и т.д.
Теоретической основой метода статистического моделирования [1,9,18, 19, 20] на компьютере являются предельные теоремы теории вероятностей.
4.1.2.
Неравенство Чебышева.
Для неотрицательной функции
случайной величины
и
выполняется неравенство
.
4.1.3.
Теорема Бернулли.
Если проводятся
независимых испытаний, в каждом из
которых некоторое событие
осуществляется с вероятностью
,
то относительная чистота появления
события
(
число
благоприятных исходов испытания) при
сходится по вероятности к
,
т.е. при
4.1.4.
Теорема Пуассона.
Если проводятся
независимых испытаний и вероятность
осуществления события
в
том испытании равна
,
то относительная чистота появления
события
(
число
благоприятных исходов испытания) при
сходится по вероятности к среднему из
вероятностей
,
т.е. при
4.1.5.
Теорема Чебышева.
Если в
независимых испытаниях наблюдаются
значения
случайной величины
,
то при
среднее арифметическое значений
случайной величины сходится по вероятности
к ее математическому ожиданию
,
т.е. при
4.1.6.
Обобщенная теорема Чебышева.
Если
независимые случайные величины с
математическими ожиданиями
и дисперсиями
ограниченными сверху одним и тем же
числом, то при
среднее арифметическое значений
случайной величины сходится по вероятности
к среднему арифметическому их
математических ожиданий
4.1.7.
Теорема Маркова..
Теорема Чебышева будет справедлива и
для зависимых случайных величин
,
если
4.1.8.
Центральная предельная теорема.
Если
независимые одинаково распределенные
случайные величины с математическое
ожидание
и дисперсию
,
то при
закон распределения суммы
неограниченно приближается к нормальному
закону распределения
где
функция Лапласа [18,19,20]
4.1.9. Теорема Лапласа. Если в каждом из независимых испытаний событие появляется с вероятностью , то
где число появления события в испытаниях.
Приведем пример задачи, для решения которой применим метод статистического моделирования.
Задача. Проводится 10 независимых выстрелов по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле равна . Требуется оценить вероятность, того, что число попаданий в мишень будет четной..
Решение. Данная задача является вероятностной, причем существует и аналитическое решение
.
Каждый
выстрел есть не, что иное, как результат
значения случайной величины равномерно
распределенной на интервале (0;1), причем,
если это значение не превосходит
,
то произошло попадание в мишень, а в
противном случае сделан промах. Таким
образом, для построения моделирующего
алгоритма необходим генератор значений
случайной величины равномерно
распределенной на интервале (0;1), который
выдает нам при каждом испытании серию
из десяти чисел (имитирует 10 выстрелов)
.
Подсчитываем количество попаданий
где
номер
испытания, а
если
и
четное, то
,
а в противном случае
.
Проведя
испытаний, получаем оценку искомой
вероятности
.