Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
3 Решаем задачи по геометрии. Литвинова.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
4.04 Mб
Скачать

Тема 8: Касательная к окружности.

Задача 1.

В окружности проведен диаметр .

Прямая линия, проходящая через точку , пересекает в точке касательную к окружности, проведенной через точку .

Отрезок делится окружностью пополам.

Найти угол .

Решение.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр - прямой.

Касательная перпендикулярна

к диаметру окружности

Отрезки равны .

Медиана прямоугольного треугольника

Искомый угол

Ответ:

Задача 2.

Две прямые линии касаются окружности с центром в точках и и пересекаются в точке .

Найдите угол между этими прямыми линиями, если

Решение.

К асательная перпендикулярна радиусу окружности

Длины касательных равны.

Треугольник равнобедренный.

Углы при основании равны

Искомый угол

Ответ:

Задача 3.

В большей из двух концентрических окружностей, имеющих общий центр, проведена хорда, равная 32 и касающаяся меньшей окружности.

Найдите радиус каждой из окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8.

Р ешение.

Радиус перпендикулярен хорде

Ширина кольца

Длина хорды .

Треугольник равнобедренный.

Теорема Пифагора для треугольника

Ответ: 20.

Задача 4.

Две прямые линии, проходящие через точку , лежащую вне окружности с центром , касаются окружности в точках и .

О трезок делится окружностью пополам.

В каком отношении отрезок делится прямой линией ?

Решение.

По условию

Касательная

Треугольник - прямоугольный.

- медиана,

- радиус окружности.

,

Треугольник - равносторонний.

, .

Ответ:

Задача 5.

Из одной точки проведены к окружности две касательные.

Длина каждой касательной равна 12, а расстояние между точками касания равно 14,4.

Найдите радиус окружности.

Р ешение.

По теореме Пифагора

Из подобия треугольников определим радиус окружности

Ответ: 9.

Задача 6.

П рямая линия, проходящая через точку , удаленную от центра окружности радиуса 10 на расстояние, равное 26, касается окружности в точке .

Найдите .

Решение.

Длина касательной

Ответ: 24.

Задача 7.

О кружности радиусов и , , касаются некоторой прямой линии. Линия центров пересекает эту прямую линию под углом .

Найдите расстояние между центрами окружностей.

Решение.

Окружности могут располагаться по одну сторону

от касательной или по разные стороны.

Имеем две конфигурации.

Конфигурация 1.

Расстояние между центрами

Конфигурация 2.

Расстояние между центрами

Ответ:

Задача 8.

Из точки проведены касательные и к окружности с центром .

и - точки касания.

Найдите радиус окружности, если и .

Решение.

Радиус окружности

Ответ:

Задача 9.

Окружность с центром касается двух параллельных прямых линий.

Проведена касательная к окружности, пересекающая эти прямые линии в точках и .

Н айдите угол .

Длины касательных равны

и - биссектрисы углов.

При пересечении они образуют угол

Ответ:

Задача 10.

На окружности радиуса выбраны три точки таким образом, что окружность оказалась разделенной на три дуги, градусные меры которых относятся как .

В точках деления к окружности проведены касательные.

Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными.

Решение.

Ц ентральный угол

Центральный угол

Углы треугольника

Катеты треугольника

Площадь треугольника

Ответ:

Задача 11.

Расстояния от концов диаметра окружности до некоторой касательной равны и .

Найдите радиус окружности.

Решение.

Т рапеция - прямоугольная.

Радиус окружности

- средняя линия трапеции

Ответ:

Задача 12.

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.

Решение.

Д лины касательных равны.

Теорема Пифагора

Ответ: 8 и 15.

Тема: Касающиеся окружности.

Подготовительные задачи.

Задача 1.

Три равных окружности радиуса касаются друг друга внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника, вершинами которого служат точки касания.

Решение.

Р адиус окружности

Расстояние между центрами

Точки касания окружностей

Длина сторон треугольника :

Треугольник равносторонний

Углы треугольника равны .

Ответ:

Задача 2.

Две равных окружности касаются изнутри третьей окружностью и касаются между собой.

С оединив три центра, получим треугольник с периметром, равны 18.

Найдите радиус большей окружности.

Решение.

Радиусы меньших окружностей

Радиус большей окружности

Расстояние между центрами

Периметр треугольника :

Радиус большей окружности

Ответ: 9.

Задача 3.

Три окружности радиусов 6, 7 и 8 попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах этих окружностей.

Р ешение.

Радиусы окружностей

Длины сторон треугольника

Площадь треугольника определим по формуле Герона

Полупериметр треугольника

Ответ: 84.

Задача 4.

Окружности радиусов 8 и 3 касаются внутренним образом. Из центра большей окружности проведена касательная к меньшей окружности. Найдите расстояние от точки касания до центра большей окружности.

Р ешение.

Требуется найти отрезок

Расстояние между центрами

Радиус меньшей окружности

Касательная перпендикулярна радиусу

Треугольник прямоугольный.

По теореме Пифагора

Ответ: 4.

Задача 5.

Д ве окружности радиуса касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса в точках и соответственно.

Найдите радиус , если .

Решение.

Треугольники и подобны

Ответ: 24.

Задача 6.

Две окружности радиуса касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается изнутри третьей окружности радиуса в точках и соответственно.

Найдите радиус , если

Р ешение.

Треугольники и подобны

Ответ: 55

Задача 7.

Д ана окружность радиуса . Четыре окружности равных радиусов касаются данной внешним образом, и каждая из этих четырех окружностей касается двух других. Найдите радиусы этих четырех окружностей.

Решение.

Радиус маленькой окружности

Радиусы окружностей при внешнем касании

Центры окружностей расположены в вершинах квадрата

Сторона квадрата

Диагональ квадрата

Определим радиусы окружностей по теореме Пифагора

Ответ:

Задача 8.

Три окружности разных радиусов попарно касаются друг друга внешним образом.

Отрезки, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник.

Н айдите радиус меньшей окружности, если радиусы большей и средней окружности равны 6 и 4.

Решение.

Радиусы окружностей

Радиус меньшей окружности

Теорема Пифагора

Ответ: 2

Задача 9.

На прямой линии, проходящей через центр окружности радиуса , взята точка на расстоянии от центра.

Найдите радиус второй окружности, которая касается прямой линии в точке , а также касается данной окружности.

Решение.

Возможны два варианта: точка лежит внутри окружности, и точка лежит вне окружности.

В ариант

Треугольник прямоугольный

Вариант

Радиус касающейся окружности

Заданный радиус окружности

Расстояние от центра окружности до точки

Длина отрезка

Треугольник прямоугольный

Объединяя результаты

Ответ:

Задача 10.

Даны окружности радиусов 1 и 3 с общим центром .

Третья окружность касается их обеих.

Найдите угол между касательными к третьей окружности, проведенными из точки .

Решение.

Р адиус третьей окружности

Отрезок

- касательная,

Угол между касательными

Ответ:

Задача 11.

В угол, равный , вписаны две окружности,

касающиеся друг друга внешним образом.

Радиус меньшей окружности равен .

Найдите радиус большей окружности.

Решение.

Опустим из центра меньшей окружности

перпендикуляр к радиусу большей окружности

Отрезок

Расстояние между центрами

,

Ответ:

Задача 12.

Две окружности касаются друг друга внутренним образом.

Известно, что два радиуса большей окружности, угол между которыми равен , касаются меньшей окружности.

Н айдите отношение радиусов окружностей.

Решение.

Радиус большей окружности

Радиус меньшей окружности

Ответ:

Задача 13.

В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и двух сторон треугольника касается меньшая окружность.

Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен .

Решение.

Сторона треугольника

Ответ:

Задача 14.

В круговой сектор с центральным углом вписана окружность. Найдите ее радиус, если радиус данной окружности равен .

Решение.

Ответ:

Задача 15.

Две окружности касаются внешним образом в точке . Одна прямая линия касается этих окружностей в различных точках и , а вторая – соответственно в различных точках и . Общая касательная к окружностям, проходящая через точку , пересекается с этими прямыми в точках и .

Н айдите , если

Решение.

- средняя линия трапеции

Ответ:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]