Глава 13. Дисперсионный анализ (anova)

ПРИМЕР

Предположим, изучается влияние на зрительскую оценку различных фильмов (за­висимая переменная) двух факторов: жанра фильма (мелодрама, комедия, боевик) и пола зрителя. Вполне вероятно, что в результате такого исследования будут обна­ружены не главные эффекты изучаемых факторов (влияние каждого из них в от­дельности), а их взаимодействие. Взаимодействие факторов «жанр фильма» и «пол зрителя» будет означать, что мужчины и женщины по-разному оценивают фильмы в зависимости от их жанра (фильмы разных жанров оцениваются по-разному, в за­висимости от пола зрителя).

ANOVA с повторными измерениями (Repeated Measures ANOVA) применяет­ся, когда по крайней мере один из факторов изменяется по внутригрупповому плану, то есть различным градациям этого фактора соответствует одна и та же выборка объектов (испытуемых). Соответственно, в модели ANOVA с повтор­ными измерениями выделяются внутригрупповые и межгрупповые факторы. Для двухфакторного ANOVA с повторными измерениями по одному из фак­торов проверяются три гипотезы: а) о влиянии внутригруппового фактора; б) о влиянии межгруппового фактора; в) о взаимодействии внутригруппово­го и межгруппового факторов.

Многомерный ANOVA (Multivariate ANOVA, MANOVA) применяется, когда зависимая переменная является многомерной, иначе говоря, представляет собой несколько (множество) измерений изучаемого явления (свойства).

Дополнительно выделяют модели ANOVA с постоянными (фиксированными) и случайными эффектами — различаются способами задания уровней (града­ций) фактора. В модели с постоянными эффектами (Fixed Factors) уровни ос­таются фиксированными (одними и теми же) и при проведении данного вы­борочного исследования: как при обобщении результата на генеральную совокупность, так и при повторном проведении исследования. В модели со случайными эффектами (Random Factors) уровни фактора представляют собой более или менее случайную выборку из множества других возможных уров­ней данного фактора. Конечно, интерпретация (обобщение) результатов бу­дет зависеть от используемой модели. При обработке данных различие между моделями в однофакторном ANOVA может не учитываться, но должно учи­тываться в двух- (и более) факторном ANOVA. В последнем случае результаты обработки для разных моделей будут различными. Допускается сочетание фиксированных и случайных факторов в одном исследовании.

ПРИМЕР

Сравнивалась эффективность двух учебных программ. Для этого из нескольких сотен школ города было выбрано 5, а в них — по два параллельных класса, ученики которых обучались по разным программам. Исследование представляло собой ре­ализацию двухфакторного плана с одним фиксированным (учебная программа: две градации) и одним случайным факторами (школа: пять градаций). Такое исследо­вание позволяет проверить гипотезу не только об эффективности учебных программ, но и о том, будет ли различаться их эффективность в разных школах города.

187

ЧАСТЬ П. МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ВЫВОДА: ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

В случае, если фактор имеет более двух градаций, то подтверждение гипо­тезы о его влиянии позволяет сделать лишь неопределенный вывод о том, что по крайней мере две градации фактора различаются. Для более конкретного вывода о том, какие именно градации фактора различаются, в ANOVA пре­дусмотрена процедура множественных сравнений (Post Hoc multiple comparison tests).

Во всех вариантах ANOVA наряду с изучением влияния факторов допуска­ется изучение влияния метрической независимой переменной. Метрическая независимая переменная в этом случае называется ковариатой {Covariate), и дисперсионный анализ включает в себя ковариационный анализ.

Математическая идея ANOVA основана на соотнесении межгрупповой и внутригрупповой частей дисперсии (изменчивости) изучаемой зависимой переменной. Известно, что при объединении двух (или более) выборок с при­мерно одинаковой дисперсией, но с разными средними значениями диспер­сия увеличивается пропорционально различиям средних значений этих вы­борок. Это связано с тем, что к внутригрупповой дисперсии добавляется дисперсия, обусловленная различиями между группами. В модели ANOVA внутригрупповая изменчивость рассматривается как обусловленная случай­ными причинами, а межгрупповая — как обусловленная действием изучаемого фактора на зависимую переменную. Соответственно, в общей изменчивости (дисперсии) зависимой переменной выделяются две компоненты: внутригруп­повая (случайная) и межгрупповая (факторная) изменчивость. Чем больше отношение межгрупповой изменчивости к внутригрупповой, тем выше фак­торный эффект — тем больше различаются средние значения, соответствую­щие разным градациям фактора.

Нулевая гипотеза в ANOVA содержит утверждение о равенстве межгруппо­вой и внутригрупповой составляющих изменчивости и подразумевает направ­ленную альтернативу — о том, что межгрупповая составляющая изменчивости превышает внутригрупповую изменчивость. Нулевой гипотезе соответствует равенство средних значений зависимой переменной на всех уровнях фактора. Принятие альтернативной гипотезы означает, что по крайней мере два сред­них значения различаются (без уточнения, какие именно градации фактора различаются).

Основные допущения ANOVA: а) распределения зависимой переменной для каждой градации фактора соответствуют нормальному закону; б) дисперсии выборок, соответствующих разным градациям фактора, равны между собой; в) выборки, соответствующие градациям фактора, должны быть независимы (для межгруппового фактора). Выполнение допущения о независимости вы­борок является обязательным в любом случае. Последствия нарушений ос­тальных двух допущений требуют специального рассмотрения.

Нарушение предположения о нормальности распределения, как показали мно­гочисленные исследования, не оказывает существенного влияния на резуль­таты ANOVA (Шеффе, 1980; Гласе, Стэнли, 1977 и др.). Следовательно, перед проведением ANOVA нет необходимости в проверке соответствия выбороч­ных распределений нормальному закону.

188