Обработка на компьютере: критерий г-Вилкоксона

Для обработки использованы данные примера 12.2. Исходные данные для обработки введены в таблицу (Data Editor) в виде двух переменных: varl — «Условие 1»; var2 — «Условие 2».

А) Выбираем Analyze > Nonparametric Tests > 2-Related Samples... (Две зави­симые выборки).

Б) В открывшемся окне диалога выделяем две переменные (соответствую­щие двум измерениям одного и того же признака) и переносим пару при по­мощи кнопки > из левого окна в правое окно (Paired Variables). Пар может быть несколько. Нажимаем ОК.

178

Глава 12. Непараметрические методы сравнения выборок

В) Получаем результаты в виде двух таблиц:

a VAR00004 < VAR00003 b VAR00004 > VAR00003 с VAR00004 = VAR00003

Test Statistics(b)

Ranks

a Based on negative ranks, b Wilcoxon Signed Ranks Test

В первой таблице содержатся ранговые статистики: средние ранги (Mean Rank) и суммы рангов (Sum of Ranks) для отрицательных (Negative Ranks) и положительных (Positive Ranks) сдвигов, а также количество одинаковых ран­гов (Ties). Во второй таблице содержатся результаты проверки гипотезы: эм­пирическое значение ^-критерия (Z) и /^-уровень значимости (Asymp. Sig. (2-tailed)).

Сравнение более двух независимых выборок

Критерий IIКраскала-Уоллеса (Kruskal- Wallis H) является непараметричес­ким аналогом однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA) для неза­висимых выборок, поэтому другое его название — Однофакторный дисперси­онный анализ Краскала-Уоллеса (Kruskal-Wallis one-way analysis of variance). Он позволяет проверять гипотезы о различии более двух выборок по уровню вы­раженности изучаемого признака.

Я-Краскала-Уоллеса по идее сходен с критерием £/-Манна-Уитни. Как и последний, он оценивает степень пересечения (совпадения) нескольких ря­дов значений измеренного признака. Чем меньше совпадений, тем больше различаются ряды, соответствующие сравниваемым выборкам. Основная идея критерия Я-Краскала-Уоллеса основана на представлении всех значений срав­ниваемых выборок в виде одной общей последовательности упорядоченных (ранжированных) значений, с последующим вычислением среднего ранга для

179

Часть II. Методы статистического вывода: проверка гипотез

каждой из выборок. Если выполняется статистическая гипотеза об отсутствии различий, то можно ожидать, что все средние ранги примерно равны и близ­ки к общему среднему рангу.

Эмпирическое значение критерия Я-Краскала-Уоллеса вычисляется пос­ле ранжирования всех значений сравниваемых выборок по формуле:

Н =

12

#2

(12.2)

где N— суммарная численность всех выборок; к — количество сравниваемых выборок; Rj — сумма рангов для выборки /; п_{ — численность выборки /. Чем сильнее различаются выборки, тем больше вычисленное значение Я и тем меньше/7-уровень значимости.

При расчетах «вручную» для определения /ьуровня пользуются таблицами критических значений. Если объем каждой выборки больше 5 и количество выборок больше трех, то эмпирическое значение критерия сравнивается с х² (приложение 4) для df= k—\ (к — число выборок). Если сравниваются 3 вы­борки и объем каждой выборки меньше 5, то пользуются таблицей критичес­ких значений Я-Краскала-Уоллеса (приложение 12).

При отклонении нулевой статистической гипотезы об отсутствии разли­чий принимается альтернативная гипотеза о статистически достоверных различиях выборок по изучаемому признаку — без конкретизации направле­ния различий. Для утверждений о том, что уровень выраженности признака в какой-то из сравниваемых выборок выше или ниже, необходимо парное соотнесе­ние выборок по критерию U-Манна-Уитни.

ПРИМЕР 12.3

Проверим гипотезу о различии выборок 1, 2 и 3 на уровне а = 0,05:

Шаг 1. Значения выборок объединяются в один ряд, упорядоченный в порядке возрастания или убывания. Обозначается принадлежность каждого значения к той или иной выборке (строки 1 и 2).

Ш а г 2. Значения выборок ранжируются и выписываются отдельно ранги для каж­дой выборки (строки 3-6).

Ш а г 3. Вычисляются суммы рангов для каждой выборки и проверяется правиль­ность расчетов. R_} = 46; R₂ =49; R^ = 41. Общая сумма рангов должна быть равна N(N+ l)/2 = 16x17/2 = 136. Равенство соблюдено.

Ш а г 4. Вычисляется Я по формуле 12.2:

180