Оптимальное распределение резервов численными методами

Задача оптимального резервирования может быть решена не только аналитически (методом неопределенных множителей Лагранжа), но и численными методами. Численные методы определения оптимального резерва позволяют найти более точное решение, и особенно эффективны при малом числе резервных подсистем.

К численному методу относится метод перебора, когда сравнивают между собой все возможные варианты структуры. Затем выбирают из них тот, который лучше всего отвечает установленным требованиям по надежности. Однако число вариантов получается практически весьма большое, поэтому метод перебора может быть использован только в простейших случаях.

Обозначим количество конкурирующих вариантов N_b. Для структуры сложной КС типа N_b определяется произведением:

,

где – общее число подсистем;

– максимально возможное число параллельных подсистем i-го типа.

Например, и , при , тогда N_b = 10¹⁰, это практически исключает возможность перебора.

Рассмотрим возможность сокращения числа вариантов при переборе. Введем понятие доминирующий последовательности и рассмотрим график вариантов технический решений в координатах: стоимость С – вероятность отказа Q (рис.1).

Рис. 1. Графическая иллюстрация доминирующей последовательности

Каждый вариант этом графике представляется точкой. Из всех вариантов заданной стоимости С интерес представляют только варианты, обладающие минимальной вероятностью отказа Q. Из вариантов при заданной (ими меньшей) вероятности отказа Q интересны только варианты, отличающиеся минимальной стоимостью С. Отсюда следуют, что из всего множества вариантов интерес представляют только те, которые находятся снизу и слева.

Подмножество этих вариантов, перспективных с точки зрения поиска оптимального варианта, называется доминирующей последовательностью. На рис. 1 доминирующая последовательность обведена. Мощность (количество элементов) доминирующей последовательности обычно намного меньше мощности множества вариантов. Поэтому легко выбирать оптимальное решение из вариантов, входящих в доминирующую последовательность.

Численные методы позволяют построить доминирующую последовательность поэлементно, – до достижения заданной надежности при минимальной стоимости или до достижения минимальной стоимости при заданной надежности. При структурной оптимизации важно найти эффективный способ ограничения количества рассматриваемых вариантов.

Эффективным методом является градиентный метод заключается в пошаговом поиске максимума критерия типа ∆lg(Q)/(∆С), т.е. отношения приращения логарифма вероятности отказа системы к приращению стоимости [1, 12, 42, 49].

Градиентный метод позволяет определить часть элементов доминирующей последовательности, т.е. некоторые элементы могут отказаться пропущенными. Поэтому получаемые этим методом результаты следует рассматривать как приближенные или проводить дополнительный поиск.

Пример оптимального распределения резервов.

Пусть имеется система, состоящая из четырех подсистем, т.е. n = 4. подсистемы характеризуются стоимостями C_i и вероятностями отказа за заданное время q_i:

Требуется построить систему, обладающую вероятностью безотказной работы Р ≥ 0,99 при минимальной стоимости С. Первоначальное состояние системы, когда нет резервов, описываются вектором состояний . Сравнение вариантов (2111), (1211), (1121) и (1112) происходит по критерию ∆lg(Q)/∆С, обеспечивающего максимум критерия. Используя приведенные выше формулы находим приближенное решение задачи. Величина оптимального распределения резерва m = (5543).