10.3 Коэффициенты полных материальных затрат

Пусть имеется матрица коэффициентов прямых затрат:

Для производства единицы продукции отрасли j необходимо затра­тить набор продуктов a_j=(a_1j, a_2j,…, a_nj), который описывается столбцом матрицы А. Но для производства этого набора а_j необходимо затратить на­бор продуктов

Элементы вектора затрат называются коэффициентами косвен­ных затрат первого порядка на производство единицы продукции j.

Матрица A⁽¹⁾, составленная из столбцов , называется матрицей косвенных затрат первого порядка:

Косвенные затраты второго порядка - это прямые затраты, необ­ходимые для обеспечения косвенных затрат первого порядка, т.е.:

или в матричной форме

Продолжая по аналогии,

Полные затраты определяются как сумма прямых и косвенных за­трат всех порядков. Тогда матрица , составленная из коэффи­циентов полных затрат, равна сумме:

Или, учитывая, что , получаем:

Существенное отличие коэффициентов полных затрат от коэффи­циентов прямых затрат состоит в том, что они являются не отраслевыми, а народнохозяйственными показателями и отражают существующие тех­нологические связи между отраслями.

Рассмотрим матрицу:

Очевидно, что в случае продуктивности матрицы А матрица полных затрат конечна, неотрицательна и равна:

(10.17) По определению, элементы матрицы В определяются как

и имеют следующую экономическую интерпретацию: если выпуск конеч­ного продукта j нужно увеличить на единицу, то валовой выпуск продук­та должен быть увеличен на . Коэффициенты можно использовать для быстрого пересчета вектора X при изменении вектора Y.

10.4 Технологические модели

В качестве описания технологического способа примем набор из 2п неотрицательных чисел:

, (10.18)

где u - набор затрат всех продуктов, обеспечивающих выпуск набора продуктов v.

В производстве продукта возможны разные комбинации затрат и ре­сурсов, т.е. возможно использование различных технологических процес­сов. Множество всех возможных технологических способов, или процес­сов экономической системы называется его технологическим множест­вом.

Производственные возможности каждого экономического объекта моделируются своим технологическим множеством.

Введем для технологического множества обозначение 2. По опреде­лению, запись u,v є Z эквивалентна утверждению о возможности осуще­ствления процесса (u,v).

Модель Гейла

Технологическое множество Z, образованное множеством процес­сов (u,v)єZ, для которого выполняются условия:

1)если (0,v)єZ, то v=0;

2)если (u₁,v₁)єZ, (u₂,v₂)єZ и (u,v)=(u₁+u₂,v₁+v₂), то (u,v)єZ

3)если (u,v)єZ и λ - некоторое число:0≤λ≤1, то (λu, λv)єZ;

4)для любого i=1,2,…,n существует процесс (u_i,v_i)єZ, такой, что v_ij>0 (v_ij - j-ая компонента вектора выпусков v_i);

5) Z является замкнутым множеством и называется технологическим множеством Гейла или моделью Гейла.

Свойство (1) означает, что невозможно произвести продукт, ничего не затратив.

Свойство (2) уточняет понятие возможного технологического спосо­ба. Технологическое множество, обладающее этим свойством, является скорее моделью потенциальных возможностей, чем реальных производст­венных возможностей, т.к. ограничения на производственные мощности и объемы невоспроизводимых ресурсов не учитываются. Более того, множе­ство Z, удовлетворяющее условию (2) вообще не является ограниченным, поскольку наряду со способом (u,v)єZ оно содержит и все способы вида

ku, kv, где k=1,2,…

Свойство (3) означает «бесконечную делимость» технологических способов. Не вполне адекватным оно выглядит для технологических способов производства сложных неоднородных продуктов (например, судостроение, машиностроение), тогда, как для технологических способов про­изводства других продуктов (химическая промышленность, производство зерна) или очень агрегированных продуктов, выраженных в стоимостных показателях, свойство (3) можно считать хорошим приближением к дейст­вительности.

Свойство (4) означает, что каждый продукт может быть произведен, т.е. невоспроизводимые ресурсы продуктами не являются.

Свойство (5) упрощает процесс моделирования. Модель Гейла явля­ется одной из самых общих линейных производственно-экономических моделей.

Формально свойства (2) и (3) означают, что технологическое множе­ство Гейла является выпуклым конусом с вершиной в точке О. В этом смысле говорят о линейности модели Гейла.

Из свойств (2) и (4) следует свойство Гейла: найдется процесс (u₀,v₀)єZ, такой, что v₀>0, т.е. среди возможных имеется технологический способ, позволяющий производить любой продукт.

Модель фон Неймана

Важным частным случаем модели Гейла является модель фон Ней­мана.

Пусть Z - модель Гейла.

Тогда если (u,v)єZ и число λ>0, то процесс

(u₁,v₁)= λ (u,v)= (λu,λ v)єZ

Процессы (u,v) и (u₁,v₁) имеют одинаковые пропорции затрат и результатов.

Говорят, что процесс (u₁,v₁) является процессом (u,v), функционирующим с интенсивностью λ. Тогда процесс (u,v) является процессом (u₁,v₁), функционирующим с интенсивностью 1/λ. Процесс (u,v) называется составным, если существуют процессы (u₁,v₁), (u₁,v₁)єZ, такие, что (u,v)= (u₁,v₁)+(u₂,v₂), при этом процессы (u₁,v₁) и (u₂,v₂) различны.

Процесс, не являющийся составным, называется базисным. Луч, проходящий из нуля в направлении базисного процесса, называется базис­ным лучом.

Моделью фон Неймана называется модель Гейла, в которой число различных базисных лучей конечно. В этом случае конус модели является многогранным, причем базисные лучи служат его образующими.

Пусть т - число различных базисных лучей модели фон Неймана.

Обозначим соответствующие им процессы (a_i,b_j),

(a_i,b_j)=(a_1j,a_2j,…,a_nj;b_1j,…,b_mj)

Все остальные технологические процессы могут быть представлены в виде неотрицательных линейных комбинаций выделенных процессов, т.е. технологический конус Z модели фон Неймана имеет вид:

(10.19)

Обозначим через А матрицу, образованную коэффициентами a_ij: A=(a_ij)_mxn , и через В - матрицу из коэффициентов b_ij: B=(b_ij)_mxn. Тогда множество Z можно записать:

Z={(u,v):u=Ax, v=Bx, x≥0} (10.20)

Матрица А называется матрицей затрат, В - матрицей выпуска.

На практике работа с моделью фон Неймана сводится к выделению числа конечных, реально существующих технологических способов к изу­чению их конической оболочки. При этом свойство (1) выполняется для всех имеющих практическое значение случаев, свойства (2), (3) и (5) полу­чаются по построению, а свойство (4) обеспечивается правильным описа­нием технологических способов.

Модель Леонтьева (модель МОЕ)

Частным случаем модели фон Неймана является модель МОБ (мо­дель Леонтьева), у которой число базисных способов равно числу продук­тов (m = n), а базисные способы имеют вид:

или матрицы А и В являются квадратными, причем матрица В=Е. Конус модели МОБ определяется как:

Z={(Ax,x), x≥0} (10.21)

или

Z={(u,v): u=Ax, v=Ex, x≥0} (10.22)

Темпы роста в модели Гейла

Пусть (u,v)єZ, (u,v)≠0.

Темпом роста процесса (u,v) называется число:

для тех i, для которых . (10.23)

В силу свойства (1) множество таких индексов непусто.

Отношение показывает, во сколько раз по данному технологическому способу выпуск продукта i превосходит затраты на него.

Производство продукта, на котором достигается минимум отноше­ния , является «узким местом» технологического процесса.

Максимальный темп роста:

(10.24)

при всех называют темпом роста модели.

Применительно к модели фон Неймана существование процесса, обеспечивающего максимальный темп роста, означает, что существует на­бор интенсивностей использования базисных технологических процессов и число , для которых

(10.25)

Для модели МОБ это неравенство примет вид:

(10.26)

что совпадает с обычным условием продуктивности при . Верно и

обратное: из продуктивности МОБ следует, что

Экономическая интерпретация модели фон Неймана: величина Ах может считаться вектором спроса, величина Вх - вектором предложения, но спрос Ах и предложение Вх относятся к двум различным (смежным) пе­риодам времени. Если темп роста экономики равен а, то таким же должен быть и темп роста спроса. Поэтому спрос в момент времени, когда произ­водится выпуск Вх, составляет . Тогда существование набора интен­сивностей , удовлетворяющего неравенству (10.26) может быть интер­претировано как существование равновесия: спрос не превосходит предложения

Пусть - вектор цен, такой, что

для всех

Вектор аналогичен вектору равновесных цен, т.е. если и , то , т.е. спрос равен предложению, и стоимостная оценка выпуска совпадает с оценкой затрат, дисконтированной по темпу роста экономики.