Найти обратную матрицу и сделать проверку:
.
Решение
Вычислим определитель данной матрицы (разложим по первой строке):
,
следовательно,
обратная матрица
существует.
Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
,
,
,
,
,
,
,
.Составим
матрицу
,
состоящую из алгебраических дополнений
матрицы A:
.
Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:
.
Проверка
.
Решить матричное уравнение:
.
Решение
Матричное уравнение
задано в виде
.
Следовательно,
,
,
.
Найдем матрицу, обратную к матрице A.
следовательно, обратная матрица существует.
Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
,
,
,
,
,
,
,
.Составим матрицу , состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:
.
Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:
.
.
Искомая матрица имеет вид:
.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
Решение
Вычислим определитель системы:
.
Вычислим определители
,
в которых вместо первого, второго и
третьего столбцов соответственно стоит
столбец из свободных членов:
|
|
|
,
,
.
Найдем значения
неизвестных
:
|
|
|
,
,
.
Итак,
,
,
.
Решить систему линейных уравнений матричным методом:
Решение
Перепишем систему уравнений в виде матричного уравнения:
,
где
,
,
.
Имеем:
,
,
.
Найдем матрицу, обратную к матрице A:
,
следовательно, обратная матрица существует.
Выпишем алгебраические дополнения матрицы A:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,
,
,
,
,
,
,
,
.Составим матрицу , состоящую из алгебраических дополнений матрицы A:
.
Матрица, обратная к матрице A, будет иметь вид:
.
.
Итак,
,
,
.
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:
Решение
Вычислим определитель системы:
.
Следовательно, система совместна и имеет единственное решение.
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду.
~
+
+
~
~
+ ~
.
Из полученной матрицы составим систему линейных уравнений и найдем неизвестные с помощью обратного хода Гаусса:
Отсюда:
Ответ:
,
,
.
Решить систему линейных уравнений методом Жордановых исключений:
Решение
Составим таблицу коэффициентов системы и преобразуем ее так, чтобы на ее главной диагонали стояли только единицы, а все остальные элементы были равны нулю.
|
|
|
|
|
3 |
1 |
–2 |
1 |
22 |
–2 |
3 |
–2 |
6 |
–5 |
1 |
4 |
1 |
–4 |
–5 |
–1 |
–1 |
–3 |
5 |
4 |
1 |
1/3 |
–2/3 |
1/3 |
22/3 |
0 |
11/3 |
–10/3 |
20/3 |
29/3 |
0 |
11/3 |
5/3 |
–13/3 |
–37/3 |
0 |
–2/3 |
–11/3 |
16/3 |
34/3 |
1 |
0 |
–4/11 |
–3/11 |
71/11 |
0 |
1 |
–10/11 |
20/11 |
29/11 |
0 |
0 |
5 |
–11 |
–22 |
0 |
0 |
–47/11 |
72/11 |
144/11 |
1 |
0 |
0 |
–59/55 |
267/55 |
0 |
1 |
0 |
–2/11 |
–15/11 |
0 |
0 |
1 |
–11/5 |
–22/5 |
0 |
0 |
0 |
–157/55 |
–314/55 |
1 |
0 |
0 |
0 |
7 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3 |
Из таблицы имеем:
