Определение сингулярностей

Пространство-время является сингулярным, если оно содержит неполные времениподобные или нулевые геодезические, но при этом не может быть вложено в большее пространство-время.

Это определение отражает наиболее объективируемые свойства сингулярностей, а именно то, что возможны частицы, история которых имеет начало и конец в конечные моменты времени. Существуют примеры, показывающие, что может возникать неполнота геодезических при остающейся ограниченной кривизне, однако считается, что в общем случае кривизна вдоль неполной геодезической будет расходиться. Это особенно важно, если пытаться с помощью квантовых эффектов решать проблемы, появляющиеся в связи с сингулярностями в классической общей теории относительности.

24 · Глава 1 — Стивен Хокинг

Между 1965 и 1970 годами Пенроуз и я использовали описанную мной технику для доказательства ряда теорем о сингулярностях. Формулировка этих теорем включает три типа условий. Во-первых, это энергетическое условие типа слабого, сильного или общего. Во-вторых, это некоторое глобальное условие на причинную структуру, например, требование отсутствия каких-либо замкнутых времениподобных кривых. Наконец, последнее условие, что в некоторых областях гравитация так сильна, что оттуда ничего не выходит наружу.

Рис. 1.10. На нормальной замкнутой поверхности выходящие с поверхности нулевые лучи расходятся, в то время как входящие лучи сходятся.

На замкнутой ловушечной поверхности сближаются как входящие, так и выходящие нулевые лучи

Это третье условие можно выразить различными способами. Один способ состоит в том, чтобы предположить, что пространственное поперечное сечение Вселенной является за-

Классическая теория · 25

мкнутым, так что не существует внешней области, куда можно было бы убежать. Другой состоит в утверждении, что существует так называемая замкнутая ловушечная поверхность. Это такая двумерная замкнутая поверхность, что как входящие, так и выходящие ортогональные ей нулевые геодезические будут сближаться (рис. 1.10). Обычно, если имеется сферическая двумерная поверхность в пространстве Минковского, то входящие нулевые геодезические сближаются, а выходящие — расходятся. Однако при коллапсе звезды гравитационное поле так велико, что световые конусы наклонены внутрь. Это означает, что даже выходящие нулевые геодезические сближаются друг с другом.

Ряд теорем о сингулярностях показывает, что при выполнении различных комбинаций трех типов условий пространство-время может быть неполным относительно времениподобных или нулевых геодезических. Можно ослабить одно условие, если предполагать более сильную версию двух других.

Теоремы о сингулярностях:

1. Энергетическое условие.

2. Условие на глобальную структуру.

3. Гравитация достаточно сильна для того, чтобы замкнуть определенную область.

Я проиллюстрирую это, описав теорему Хокинга-Пенроуза. Она включает общее энергетическое условие, сильнейшее из трех возможных. Глобальное условие довольно слабое и сводится к отсутствию замкнутых времениподобных геодезических. Условие невылетания берется в наиболее общем виде как существование либо ловушечной поверхности, либо замкнутой пространственноподобной трехмерной поверхности.

Для простоты я лишь набросаю доказательство для случая замкнутой пространственноподобной трехмерной поверхности S. Можно определить эволюцию Коши в D⁺(S) в направлении будущего как область точек q, для которых каждая направленная в прошлое времениподобная геодезическая пересекает S (рис. 1.11). Тогда эволюция Коши является областью пространства-времени, которая может быть предсказана