20 • Глава 1 — Стивен Хокинг

Уравнение Payчадхури - Ньюмена - Пенроуза

где п = 2 для нулевых геодезических,

п = 3 для времениподобных геодезических.

Здесь v является аффинным параметром вдоль конгруэнций геодезических с касательным вектором l^а, который ортогонален к гиперповерхности. Величина ρ является средней скоростью сближения геодезических, в то время как σ измеряет напряжение. Слагаемое R_ab l^al^b определяет непосредственное гравитационное воздействие материи на сходимость геодезических.

Уравнение Эйнштейна

Слабое энергетическое условие

для любого времениподобного вектора v^a.

Из уравнений Эйнштейна следует, что последнее слагаемое будет неотрицательным для любого нулевого вектора l^а, если материя удовлетворяет так называемому слабому энергетическому условию. Оно утверждает, что плотность энергии T₀₀ является неотрицательной в любом базисе. Слабому энергетическому условию удовлетворяет классический тензор энергии-импульса любого разумного вида материи, такого как скалярное или электромагнитное поле или жидкость с приемлемым уравнением состояния. Однако это условие может локально не выполняться для квантово-механического среднего

Классическая теория · 21

значения тензора энергии-импульса. Это будет существенно в моих второй и третьей лекциях (главы 3, 5).

Предположим, что слабое энергетическое условие справедливо, и что нулевые геодезические из точки p начинают снова сходиться, причем ρ имеет положительное значение ρ₀· Тогда из уравнений Ньюмена-Пенроуза следует, что сближение ρ может стать бесконечным в точке q внутри промежутка аффинного параметра размером , если нулевая геодезическая может быть так далеко продолжена.

Бесконечно близкие нулевые геодезические из p будут пересекаться в q. Это означает, что точка q будет сопряжена с p вдоль соединяющей их нулевой геодезической γ. Для точек на γ кроме точки q будет существовать такая вариация γ, которая дает времениподобную кривую из р. Такая геодезическая γ не может лежать на границе будущего точки p за сопряженной точкой q. Таким образом, γ будет иметь конечную точку в будущем как генератор границы будущего точки p (см. рис. 1.9).

Сильное энергетическое условие

Ситуация с времениподобными геодезическими аналогична, за исключением того, что сильное энергетическое условие, необходимое для того, чтобы величина R_abl^al^b была неотрицательной для любого времениподобного вектора l^а, как следует из самого названия, является более сильным. Оно остается, однако, физически приемлемым в классической теории, по крайней мере в смысле средних значений. Если выполняется

22 • Глава 1 — Стивен Хокинг

сильное энергетическое условие, и времениподобные геодезические, выходящие из р, снова начинают сближаться, будет существовать точка q, сопряженная точке р.

Рис. 1.9. Точка q является сопряженной к р вдоль нулевых геодезических, так что нулевая Геодезическая γ, которая соединяет р с q, будет покидать границу будущего точки р в точке q.

Общее энергетическое условие:

1. Выполняется сильное энергетическое условие.

2. Каждая времениподобная или нулевая геодезическая содержит точку, где

Наконец, существует общее энергетическое условие. Оно утверждает, во-первых, что справедливо сильное энергетическое условие. Во-вторых, каждая времениподобная или нулевая геодезическая включает точку, где отлична от нуля кривизна, специально связанная со свойствами геодезической. Общее энергетическое условие не удовлетворяется для некоторых

Классическая теория • 23

точных решений. Но эти примеры являются довольно специальными. Можно ожидать, что оно выполняется для решений, которые являются «общими» в подходящем смысле. Если общее энергетическое условие выполняется, то каждая геодезическая будет включать область гравитационного фокусирования. Отсюда вытекает, что если геодезические можно продолжить достаточно далеко в каждом направлении, то должны существовать пары сопряженных точек.

Естественно представлять себе пространственно-временную сингулярность как область, в которой кривизна становится неограниченно большой. Однако, принимая это как определение, мы сталкиваемся с проблемой, так как можно просто вырезать сингулярные точки и сказать, что остающееся многообразие и было всем пространством-временем. Поэтому лучше определить пространство-время как максимальное многообразие, на котором метрика является достаточно гладкой. Тогда можно заметить появление сингулярностей по существованию неполных геодезических, которые не могут быть продолжены на бесконечные значения аффинного параметра.