16 · Глава 1 — Стивен Хокинг

ет потребовать выполнения некоторого глобального условия на причинную структуру. Наиболее сильное и физически наиболее важное условие состоит в требовании глобальной гиперболичности. Говорят, что открытое множество U является глобально гиперболическим, если:

1. для любой пары точек p и q в U пересечение будущего для p и прошлого для q имеет компактное замыкание. Другими словами, оно ограничено ромбовидной областью (рис. 1.5);

2. на U строго выполняется причинность. Это означает, что не существует замкнутых или почти замкнутых времениподобных кривых, содержащихся в U.

Рис. 1.5. Пересечение прошлого для q и будущего для p имеет компактное замыкание

Физическое значение глобальной гиперболичности следует из того факта, что она приводит к существованию семейства поверхностей Коши Σ(t) для U (рис. 1.6). Поверхность Коши для U является пространственноподобной или нулевой поверхностью, которая пересекает каждую времениподобную кривую в U один и только один раз. Можно предсказать, что произойдет в U, исходя из данных на поверхности Коши, а также сформулировать квантовую теорию поля с хорошим поведением на глобально гиперболическом фоне. Менее ясно, можно ли сформулировать разумную квантовую теорию поля на неглобальном гиперболическом фоне. Таким образом, глобальная

Классическая теория · 17

Рис. 1.6. Семейство поверхностей Коши для U

гиперболичность может быть физически необходимой. Однако моя точка зрения состоит в том, что ее не надо предполагать, потому что глобальная гиперболичность может исключить что-то такое, о чем пытается нам сказать гравитация. Скорее, мы должны вывести, что определенные области пространства-времени являются глобально гиперболическими, исходя из каких-то других физически приемлемых предположений.

Важность глобальной гиперболичности для теорем об сингулярностях видна из последующего. Пусть U глобально гиперболично, и пусть p и q — точки U, которые могут быть соединены времениподобной или нулевой кривой. Тогда существует времениподобная или нулевая геодезическая между p и q, которая максимизирует длину времениподобных или нулевых кривых из p в q (рис. 1.7). Метод доказательства состоит в том, чтобы показать, что пространство всех времениподобных или нулевых кривых из p в q является компактным в определенной топологии. После этого можно показать, что длина кривой является верхней полунепрерывной функцией на этом пространстве. Следовательно, она должна достигать своего максимума,

18 · Глава 1 — Стивен Хокинг

Рис. 1.7. В глобально гиперболическом пространстве существует геодезическая максимальной длины, соединяющая любую пару точек, которые могут быть соединены времениподобной или нулевой кривой

а кривая максимальной длины будет являться геодезической, поскольку в противоположном случае малое изменение будет приводить к более длинной кривой.

После этого можно рассмотреть вторую вариацию длины геодезической γ. Можно показать, что γ можно заменить на более длинную кривую, если существует бесконечно близкая геодезическая, идущая из р, которая снова пересекает γ в точке γ между p и q. Говорят, что точка r является сопряженной к p (рис. 1.8). Это можно продемонстрировать, рассматривая две точки p и q на поверхности Земли. Без потери общности можно взять точку p на северном полюсе.

Поскольку Земля имеет не лоренцевскую, а положительно определенную метрику, на ней существуют геодезические не максимальной, а минимальной длины. Минимальная геодезическая является линией долготы, проходящей через северный полюс к точке q. Но существует и другая геодезическая, из p в q, которая идет от северного полюса по другой стороне, проходит через южный полюс и попадает в q. Эта геодезическая содержит точку, сопряженную p на южном полюсе, где пересекаются все геодезические из р. Обе геодезические являются экстремумами длины при малых вращениях. Но теперь, при положительно определенной метрике, вторая вариация геоде-

Классическая теория · 19

Рис. 1.8.

Слева: если на геодезической существует сопряженная точка r между p и q, она не является геодезической минимальной длины. Справа: неминимальная геодезическая из p в q имеет сопряженную точку на южном полюсе

зической, содержащей сопряженную точку, может привести к более короткой кривой из p в д. Так, в примере с Землей можно получить, что геодезическая, которая идет вниз через южный полюс, а затем идет вверх, не является кратчайшей кривой из p в q. Этот пример довольно очевиден. Однако в случае пространства-времени можно показать, что при определенных предположениях должна существовать глобально гиперболическая область, в которой на каждой геодезической между двумя заданными точками существуют сопряженные точки. Это приводит к противоречию, показывающему, что предположение о полноте геодезических, которое было использовано как определение сингулярного пространства-времени, является ошибочным.

Причина возникновения сопряженных точек в пространстве-времени состоит в том, что гравитация является притягивающей силой. Следовательно, пространство-время искривляется таким образом, что соседние геодезические не удаляются друг от друга, а сближаются. Это можно увидеть из уравнений Раучадхури или Ньюмена-Пенроуза, которые я приведу в единой форме: