132 · Глава 6 — Роджер Пенроуз

(Ходжес, Пенроуз и Зингер 1989), в последнее время стимулирована также конформной квантовой теорией поля (ККТП). Стивен в своей первой лекции высказал несколько критических замечаний относительно теории струн, но я считаю, что ККТП, которая по сути есть теория поля на мировой поверхности струны, является очень красивой (хотя не вполне физичной) теорией.

Она определена на произвольных римановых поверхностях (одним из простейших примеров которых является сфера Римана, и которые включают в себя все одномерные комплексные многообразия, в том числе торы и «крендель»). Для твисторов необходимо обобщить ККТП на многообразия с тремя комплексными размерностями, границы которых являются копиями (т.е. пространствами световых лучей в пространстве-времени). Работа в этой области продолжается, хотя нельзя сказать, что она продвинулась очень далеко.

Твисторы в искривленных пространствах

Все, что мы делали до сих пор, связано только с плоским пространством-временем, но мы знаем, что пространство-время искривлено. Нам необходима теория твисторов, которая могла бы быть применена к искривленному пространству-времени и могла бы каким-либо естественным образом воспроизвести уравнения Эйнштейна.

Если многообразие пространства-времени является конформно плоским (или, другими словами, его тензор Вейли равен нулю), то нет никаких проблем, связанных с описанием этого пространства твисторами, поскольку твисторная теория является в своей основе конформно-инвариантной. Существуют некоторые твисторные идеи, которые работают в различных конформно-неплоских пространствах как, например, идея определения квазилокальных масс (Пенроуз 1982, для пояснения см. Тод 1990) и конструкция Вудхауза-Мейсона (1988, для пояснения см. Флетчер и Вудхауз 1990) для случая стационарных аксиальносимметричных вакуумов (основана на конструкции Уорда 1977 для антисамодуальных Янг-Миллсовских полей в плоском пространст-

Твисторный взгляд на пространство-время · 133

ве-времени; см. также Уорд 1983), которые являются частью весьма общего твисторного подхода к интегрируемым системам (см. книгу Мейсона и Вудхауза 1996).

Однако нам хотелось бы научиться справляться и с более общими пространствами. Для комплексифицированного (или «евклидизированного») пространства-времени Μ с антисамодуальным тензором Вейля (т. е. самодуальная половина тензора Вейля равна нулю) существует так называемая конструкция нелинейного гравитона, которая тесно связана с этой проблемой (Пенроуз 1976). Чтобы увидеть, как все это работает, рассмотрим часть твисторного пространства, состоящего из трубчатой окрестности линии или чего-то подобного (скажем, верхней половины положительночастотной части ), и раз-

режем ее на два или более куска. После этого снова склеим их вместе, но так, чтобы куски сдвинулись друг относительно друга. В общем случае прямые линии в первоначальном пространстве Ρ будут разорваны в новом пространстве . Однако мы можем искать новые голоморфные кривые, которые заменяют первоначальные (теперь нарушенные) прямые линии, считая, что кривые соединяются гладко. Предполагая, что различие между Ρ и не слишком велико, получим голоморфные кривые, которые относятся к тому же топологическому семейству, что и первоначальные линии, образуя, таким образом, четырехмерное семейство. Пространство, точки которого образуют эти голоморфные кривые и является искомым антисамодуальным (комплексным) «пространством-временем» (рис. 6.5). Теперь можно рассматривать риччи-плоские уравнения Эйнштейна в вакууме как условия, при которых является голоморфным расслоением над проективной линией (вместе с некоторыми другими слабыми условиями). Все это может быть получено, если выразить деформацию для Р, как заданную с помощью свободных голоморфных функций. При этом вся информация об искривленном пространстве-времени будет закодирована в этих функциях (хотя нахождение требуемых голоморфных кривых в может быть очень трудной задачей).

На самом деле мы хотим решить полные уравнения Эйнштейна (поскольку последняя конструкция дает решение лишь