Квантованные твисторы

Поскольку нам нужна квантовая теория твисторов, для этого мы должны определить твисторную волновую функцию, т.е. комплекснозначную функцию f(Z^a) на твисторном пространстве. Произвольная функция f(Z^a) не является a priori волновой функцией, поскольку Z^α включает в себя компоненты, содержащие как координаты, так и импульсы. Мы не можем использовать их одновременно в волновой функции, т. к. координаты и импульсы не коммутируют между собой. В твисторном пространстве коммутационные соотношения имеют вид:

Таким образом, являются сопряженными перемен-

ными, и волновая функция может зависеть только от одной из них. Это означает, что волновая функция должна быть голоморфной (или антиголоморфной) функцией от Z^a.

Теперь мы должны проверить, как предыдущие выражения зависят от операторного упорядочения. Оказывается, что выражения для импульса и момента импульса не зависят от упорядочения и поэтому канонически определены. С другой стороны, выражение для спиральности зависит от упорядочения, и мы должны выбрать корректные определения. С этой целью мы должны выбрать симметричное произведение, т.е.

которое с точки зрения Z^α-пространства может быть выражено следующим образом:

Мы можем разложить волновую функцию по собственным состояниям s. Они в точности являются однородными волновыми функциями определенной степени. Например, бесспиновая частица с нулевой спиральностью имеет твисторную волновую функцию степени однородности —2. Лево-спиральная час-

130 · Глава 6 — Роджер Пенроуз

тица со спином ¹/₂ имеет спиральность s = -¹/₂ и, следовательно, имеет твисторную волновую функцию степени однородностью -1, в то время как право-спиральная частица (спиральность ; ) будет иметь твисторную волновую функцию степени однородности —3. Для спина 2 право-спиральные и лево-спиральные твисторные волновые функции будут иметь соответственно степени однородности —6 и +2.

Это может выглядеть несколько надуманным, поскольку в ОТО существует симметрия между правым и левым. Но это может быть и не так уж плохо, так как сама Природа является лево-право асимметричной. Более того, «новые переменные» Аштекара, которые являются очень полезным средством в ОТО, также лево-право асимметричны. Интересно, что мы приходим к такой асимметрии между левым и правым столь разными путями.

Кто-то может подумать, что можно восстановить симметрию, заменив , обратив таблицу степеней однородности и затем используя Z^α для одной спиральности и для другой. Однако так же, как мы не можем смешивать между собой одновременно координатное и импульсное представления в обычной КМ, мы не можем смешивать описание с помощью переменных . Мы должны выбрать либо одно, либо другое. Какое из описаний более фундаментально, предстоит еще узнать.

Далее, мы хотим получить пространственно-временное описание f(Z). Это можно сделать с помощью контурного интеграла

где интеграл берется по контуру в пространстве тех Ζ^α, которые соответствуют r (напомним, что Ζ имеет две части ω и π),

и число компонент π или зависит от спина (и направле-

ния проекции) поля. Это уравнение определяет пространственно-временное поле φ...(r), которое автоматически удовлетворяет уравнениям поля для безмассовой частицы. Таким образом,

Твисторный взгляд на пространство-время · 131

требование голоморфности твисторных полей включает в себя уравнения безмассовых частиц для всего множества полей, по крайней мере, для линейного поля в плоском пространстве или эйнштейновского поля в пределе малой энергии.

Геометрически точка r в пространстве-времени является линией (которая есть сфера Римана) в твисторном пространстве. Эта линия должна разрезать область, где определена f(Z). Функция f(Z) в общем случае не определена везде и может иметь сингулярные части (действительно, при вычислении контурного интеграла мы обходим эти сингулярные области). Если говорить математически более точно, то твисторная волновая функция является элементом когомологии. Чтобы это понять, рассмотрим множество открытых окрестностей в некоторой области твисторного пространства, которой мы интересуемся. Твисторная функция тогда должна быть определена на пересечении пар этих открытых множеств. Это означает, что она является элементом первого пучка когомологии. Я не буду вдаваться в детали, но выражение «пучок когомологии» хорошо запоминается.

Вспомним теперь, что на самом деле мы хотели по аналогии с КТП найти способ разделения отрицательно- и положительно-частотных частей амплитуды поля. Если твисторную функцию, определенную на , можно продолжить (как элемент первой когомологии) на верхнюю половину твисторного пространства , она имеет положительную частоту. Если она может быть продолжена на нижнюю половину , она имеет отрицательную частоту. Таким образом, индексы твисторного пространства соответствуют обозначениям положительной и отрицательной частоты.

Это разбиение позволяет построить квантовую физику в твисторном пространстве. Эндрю Ходжес (1982, 1985, 1990) развил подход к КТП на основе твисторных диаграмм, которые аналогичны фейнмановским диаграммам в пространстве-времени. Используя их, он пришел к некоторым новым способам регуляризации КТП. Эти схемы трудно придумать при использовании обычного пространственно-временного подхода, но они очень естественны в твисторной картине. Новая точка зрения, первоначально выросшая из идей Майкла Зингера