126 · Глава 6 — Роджер Пенроуз

Рис. 6.4. На основе твисторного соответствия, световые лучи в пространстве-времени (Минковского) представляются точками в (проективном) твисторном пространстве.

Пространственно-временные точки представляются сферами Римана

Основная идея теории твисторов состоит в попытке использовать эту связь между КМ и пространственно-временной структурой, как это демонстрирует сфера Римана, только расширив эту идею на все пространство. Мы пытаемся рассматривать лучи света как более фундаментальные объекты, чем точки пространства-времени. Таким образом, мы считаем пространство-время вторичной концепцией и полагаем твисторное пространство — первоначально пространство световых лучей — более фундаментальным понятием. Эти два пространства связаны соответствием, согласно которому световые лучи в пространстве-времени являются точками в твисторном пространстве. Отсюда точка в пространстве-времени представляется множеством проходящих через нее световых лучей. Поэтому точка в пространстве-времени становится сферой Римана в твисторном пространстве. Мы будем считать твисторное пространство тем пространством, в рамках которого мы будем описывать физику (рис. 6.4).

В том виде, как я представил выше твисторное пространство, оно имеет пять (вещественных) измерений. Поэтому оно не может быть комплексным пространством, т. к. такие пространства всегда имеют четное число (вещественных) измерений. Если мы считаем, что световые лучи — это истории фотонов, мы должны также принять во внимание энергию фотона и его спиральность, которая может быть левой и правой.

Твисторный взгляд на пространство-время · 127

Это несколько сложнее, чем просто световые лучи, но важность всего этого состоит в том, что в конце концов мы приходим к комплексному проективному трехмерному пространству (шесть вещественных размерностей), . Это проективное твисторное пространство ( ). Оно имеет пятимерное подпространство , которое разбивает пространство на левую и правую части

Точки пространства-времени представляются четырьмя вещественными числами, а координаты в проективном твисторном пространстве могут быть представлены отношениями четырех комплексных чисел. Если световой луч, представляемый координатами (Ζ⁰, Ζ¹, Ζ², Ζ³) в твисторном пространстве, проходит через точку (r⁰, r¹, r², r³) в пространстве-времени, справедливо соотношение вложенности

(6.1)

Соотношение вложенности (6.1) является основой твисторного соответствия.

Здесь необходимо ввести некоторые 2-спинорные обозначения. В этом месте обычно возникают трудности, но для любых детальных вычислений эти обозначения чрезвычайно удобны. Для любого 4-вектора r^а определим величину r^AA', матрица компонент которой может быть записана в виде

Условие вещественности r^а состоит в том, что r^AA' должна быть эрмитова. Точка в твисторном пространстве определяется двумя спинорами с компонентами

Соотношение вложенности тогда приводит к выражению:

ω = ίrπ.

128 · Глава 6 — Роджер Пенроуз

Необходимо заметить, что при сдвиге начала координат, при котором r^а заменяется на

получаем

в то время как π _A'· не меняется:

Твистор представляет четыре компоненты импульса р_а (три из которых независимы) и шесть компонент момента импульса М^аb (четыре из которых независимы) безмассовой частицы. Эти выражения имеют вид

где скобки обозначают симметричную часть, ε^ΑΒ и ε^Λ'Β' являются антисимметричными символами Леви - Чивита. Эти выражения учитывают тот факт, что импульс р_а является нулевым и направлен в будущее, а также то, что спиновый вектор Паули-Любанского равен спиральности а, умноженной на 4-импульс. Эти величины определяют твисторные переменные (ω^Λ, π _А') с точностью до умножения на общий фазовый множитель твистора. Спиральность может быть записана как

где комплексно сопряженный к Z^a = (w^A, π _а') твистор является дуальным твистором . (Отметим, что комплексное сопряжение меняет местами штрихованные и нештрихованные спинорные индексы и твисторы с дуальными им). Тогда а > О соответствует частице с правой спиральностью, которую мы относим к верхней половине твисторного пространства , в то время как а < 0 относится к частицам с левой спиральностью, т.е. к нижней половине . Наконец, случай а = 0 соответствует реальным световым лучам. (Уравнение для пространства световых лучей имеет, следовательно, вид: )

Твисторный взгляд на пространство-время · 129