108 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Это возмущение может быть разложено по сферическим гармоникам, которые могут быть трех видов: скалярные, векторные и тензорные. Векторные гармоники в точности соответствуют изменениям координат x в последовательных 3-сферах и не играют динамической роли. Тензорные гармоники соответствуют гравитационным волнам в расширяющейся Вселенной, в то время как скалярные гармоники частично связаны с произволом в выборе координат и частично с флуктуациями плотности. _________________________________________

Тензорные гармоники — гравитационное поле

Векторные гармоники — калибровка

Скалярные гармоники — флуктуации плотности

Можно записать волновую функцию как произведение волновой функции для метрики 3-сферы радиуса а на волновые функции для коэффициентов гармоник:

Уравнение Уилера-де Витта для волновой функции может быть разложено во всех порядках по радиусу α и по среднему скалярному полю но только в первом порядке по возмущениям. Тогда можно получить последовательность уравнений Шредингера для скорости изменения возмущения волновых функций относительно временной координаты фоновой метрики.

Уравнения Шредингера

Можно использовать условие отсутствия границ для получения начальных условий для возмущенных волновых функций. Решим уравнение поля для малых, но слегка возмущенных 3-сфер. Это дает возмущенную волновую функцию в период экспоненциального расширения. После этого можно проследить за ее изменением, используя уравнение Шредингера

Квантовая космология · 109

Проще всего рассмотреть тензорные гармоники, соответствующие гравитационным волнам. У них нет каких-либо калибровочных степеней свободы, и они не могут непосредственно взаимодействовать с возмущениями материи. Можно использовать условие отсутствия границ для того, чтобы найти начальные волновые функции коэффициентов d_n тензорных гармоник в возмущенной метрике.

Основное состояние

Если это проделать, то получим волновую функцию основного состояния гармонического осциллятора с частотой гравитационных волн. По мере расширения Вселенной эта частота будет падать. Пока частота существенно больше, чем скорость расширения уравнение Шредингера позволяет волновой функции адиабатически релаксировать, и мода остается в основном состоянии системы. В конце концов, однако, частота станет меньше, чем скорость расширения, которая приближенно постоянна в период экспоненциального расширения. Когда это произойдет, уравнение Шредингера не сможет достаточно быстро изменять волновую функцию так, чтобы она оставалась в основном состоянии, в то время как частота меняется. Вместо этого волновая функция «замораживается», сохраняя ту форму, которую имела на момент, когда частота стала меньше скорости расширения.

После окончания эры экспоненциального расширения скорость расширения будет уменьшаться быстрее, чем частота моды. Это эквивалентно утверждению, что горизонт событий наблюдателя, являющийся обратной величиной к скорости расширения, увеличивается быстрее, чем длина волны волновой функции. Таким образом, длина волны станет больше, чем горизонт событий в период инфляции, а позднее снова станет меньше горизонта событий (рис. 5.10). Когда это происходит, волновая функция будет оставаться такой же, как в тот момент, когда она «замораживается». Однако частота при этом