106 · Глава 5 — Стивен Хокинг

начальных состояний приводят к состоянию, которое сегодня наблюдается: естественная мера обоих типов начальных условий, как тех, которые приводят к Вселенной, подобной нашей, так и тех, которые не приводят, равна бесконечности. Поэтому мы не можем утверждать, что одна мера больше другой.

С другой стороны, мы видели, что в случае гравитации с космологической постоянной и при отсутствии полей материи условие отсутствия граничных условий может привести к Вселенной, которая является предсказуемой в рамках квантовой теории. К сожалению, эта частная модель не описывает Вселенную, в которой мы живем, которая заполнена материей и в которой космологическая постоянная равна нулю или очень мала. Однако можно получить более реалистическую модель, опустив космологическую постоянную и включив поля материи. В частности, похоже, что нужно иметь во Вселенной скалярное поле φ с потенциалом V(φ). Я буду предполагать, что V имеет минимальное значение, равное нулю при φ = 0. Простым примером является потенциал массивного скалярного поля (рис. 5.9).

Тензор энергии-импульса скалярного поля

Из тензора энергии-импульса нетрудно видеть, что если градиент φ мал, то V(φ) эффективно эквивалентен космологической постоянной.

Волновая функция будет зависеть теперь от значения φ₀ поля φ на Σ, а также от индуцированной метрики h_ij. Можно решить уравнение поля для малых сферических метрик 3-сфе-ры и больших значениях φ₀. Решение с такой границей является приближенно частью 4-сферы с постоянным полем φ. Ситуация подобна случаю де Ситтера с потенциалом V(φ₀), играющим роль космологической постоянной. Аналогично, если радиус а 3-сферы чуть больше, чем радиус евклидовой 4-сферы, существуют два комплексно-сопряженных решения. Они будут подобны половине евклидовой 4-сферы, соединенной с ре-

Квантовая космология · 107

Рис. 5.9. Потенциал массивного скалярного поля

шением Лоренца-де Ситтера при наличии почти постоянного поля φ. Следовательно, предположение об отсутствии границ предсказывает спонтанное рождение экспоненциально расширяющейся Вселенной, как в случае де Ситтера.

Рассмотрим эволюцию такой модели. В противоположность случаю де Ситтера, она не будет экспоненциально расширяться бесконечно долго. Скалярное поле будет понижать величину потенциала V к минимуму при φ = 0. Однако если начальное значение φ больше, чем значение Планка, скорость скатывания будет мала по сравнению с характерным временем расширения. Поэтому Вселенная экспоненциально расширится во много раз. Когда скалярное поле станет порядка единицы, оно начнет осциллировать вокруг φ = 0. Для большинства потенциалов V осцилляции будут более быстрыми по сравнению со временем расширения. Естественно предположить, что при таких осцилляциях энергия поля 10 будет излучаться в виде рождения пар частиц и тем самым нагревать Вселенную. Однако этот процесс зависит от предположений относительно стрелы времени. Я вскоре вернусь к этому вопросу.

Экспоненциальное расширение во много раз почти точно приводит к критической скорости расширения Вселенной. Предположение об отсутствии границ может объяснить, почему скорость расширения Вселенной до сих пор так близка к критической. Чтобы увидеть, что оно предсказывает для однородной и изотропной Вселенной, можно рассмотреть 3-мет-рики h_ij, которые являются возмущениями метрики 3-сферы.