100 · Глава 5 — Стивен Хокинг Рамка 5.Б. Евклидова метрика

Как и в случае рождения пар черных дыр, можно описать спонтанное рождение экспоненциально расширяющейся Вселенной. Соединим нижнюю половину евклидовой 4-сферы с верхней половиной лоренцевского гиперболоида (рис. 5.7). В противоположность рождению пары черных дыр, здесь нельзя сказать, что вселенная де Ситтера была создана из энергии поля в существовавшем до этого пространстве. Действительно, она в буквальном смысле слова родилась из ничего — не из вакуума, но абсолютно из ничего, потому что вне Вселенной ничего не существует. В евклидовом режиме вселенная де Ситтера является замкнутым пространством, подобно поверхности Земли, но с вдвое большим количеством размерностей. Если космологическая постоянная мала по сравнению с планковским значением, кривизна евклидовой 4-сферы будут малой. Это означает, что приближение седловой точки для интеграла по путям будет хорошим, и на вычисление волновой функции Вселенной не будет влиять то, что мы игнорируем все происходящее при больших кривизнах.

Можно также решить уравнение поля для граничных метрик, которые не являются точными метриками сферы. Если радиус сферы меньше, чем , решением является действительная евклидова метрика. Действие будет действительным, и волновая функция будет экспоненциально затухать по сравнению с 3-сферой того же объема. Если радиус 3-сферы больше, чем этот критический радиус, возникнут два комплексно-со-

Квантовая космология · 101

Рис. 5.7. Туннелирование, которое приводит к расширяющейся Вселенной, описывается объединением половины евклидова решения с половиной лоренцевского решения

пряженных решения, и волновая функция будет быстро осциллировать при малых изменениях h_ij.

Любое измерение, сделанное в космологии, может быть сформулировано в терминах волновой функции. Поэтому предположение об отсутствии границ превращает космологию в науку, поскольку позволяет предсказывать результат любого эксперимента. Случай, который мы рассматривали, включал только космологическую константу и не учитывал наличие полей материи, что не соответствует той Вселенной, в которой мы живем. Тем не менее, это полезный пример, поскольку, во-первых, это простая модель, которую можно явно решить, и, во-вторых, поскольку такая ситуация, по-видимому, соответствует ранним стадиям эволюции Вселенной.

Хотя это и не совсем очевидно из волновой функции, но термодинамические свойства вселенной де Ситтера подобны черным дырам. Это можно увидеть, если записать метрику де Ситтера не в виде, аналогичном решению Шварцшильда, а в статическом виде (см. рамку 5.В). Здесь имеется кажущаяся сингулярность при . Однако, как и в решении Шварцшильда, ее можно удалить с помощью координатных преобразований и она соответствует горизонту событий. Это можно увидеть на диаграмме Картера-Пенроуза, имеющей форму

102 · Глава 5 — Стивен Хокинг

квадрата. Пунктирная вертикальная линии слева представляет центр сферической симметрии, где радиус r 2-сферы стремится к нулю. Другой центр сферической симметрии представлен пунктирной линией справа. Горизонтальные линии сверху и снизу представляют бесконечности прошлого и будущего, которые в этом случае пространственноподобны. Диагональная линия от левого верха до правого низа является границей прошлого для наблюдателя, находящегося в левом центре симметрии. Поэтому диагональ можно считать его горизонтом событий. Однако наблюдатель, мировые линии которого заканчиваются в других местах бесконечности будущего, будут иметь другой горизонт событий. Поэтому горизонты событий в пространстве де Ситтера являются персональным делом наблюдателей.