96 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рис. 5.4. Волновая функция выражается с помощью интеграла по путям по М⁺

функция должна удовлетворять четырем дифференциальным уравнениям. Три из этих уравнений называются условиями на импульс.

Уравнения, являющиеся условиями на импульс

Они выражают тот факт, что волновая функция должна быть одной и той же для различных 3-метрик h_ij, которые могут быть получены одна из другой с помощью преобразований координат x_i. Четвертое уравнение называется уравнением Уилера-де Витта.

Уравнение Уилера — де Витта

Оно соответствует независимости волновой функции от т. Можно воспринимать его как уравнение Шредингера для Вселенной. Но здесь отсутствует производная по времени, поскольку волновая функция не зависит от времени явно.

Квантовая космология · 97

Чтобы оценить волновую функцию Вселенной, можно, как и в случае черных дыр, использовать для вычисления интеграла по путям метод седловой точки. Находим евклидову метрику g₀ на многообразии М⁺, которая удовлетворяет уравнениям поля и индуцирует метрику h_ij на границе Σ. Тогда действие может быть разложено в степенной ряд вокруг фоновой метрики g₀·

Как и раньше, линейные по возмущениям слагаемые исчезают в силу уравнений движения. Квадратичные слагаемые можно рассматривать как вклад в действие от гравитонов на фоне невозмущенной метрики, а члены более высокого порядка — как взаимодействие гравитонов. Если радиус кривизны фонового пространства велик по сравнению с длиной Планка, этим взаимодействием можно пренебречь. Следовательно,

Простой пример позволяет понять, на что похожа эта волновая функция. Рассмотрим ситуацию, когда нет полей материи, но существует положительная космологическая константа Λ. Выберем в качестве поверхности Σ 3-сферу, а в качестве метрики h_ij — соответствующую метрику 3-сферы радиусом а. Тогда многообразие М⁺, ограниченное Σ, может быть выбрано как 4-шар. Метрика, которая удовлетворяет уравнениям поля, является частью 4-сферы радиусом Тогда действие:

Для 3-сферы Σ радиусом меньше, чем —, существуют два воз-

£1

можных евклидовых решения: М⁺ может быть либо меньше, чем полусфера, либо больше (рис. 5.5). Однако существуют аргументы, показывающие, что нужно выбирать решение, в котором М⁺ меньше, чем полусфера.

98 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рис. 5.5. Два возможных евклидовых решения М⁺ с границей Σ и соответствующие им действия

Следующий рисунок (рис. 5.6) показывает вклад в волновую функцию от действия для метрики g₀. Когда радиус Σ меньше, чем , волновая функция экспоненциально растет

как c^{a^2} . Однако, когда а больше, чем , можно аналитически продолжить результат на меньшие а и получить быстро осциллирующую волновую функцию.

Рамка 5.А. Метрика Лоренца — де Ситтера

Можно интерпретировать эту волновую функцию следующим образом. Решением уравнений Эйнштейна в реальном времени с учетом Λ-члена и с максимальной симметрией

Квантовая космология · 99

Рис. 5.6. Волновая функция как функция радиуса пространства Σ

является пространство де Ситтера. Оно может быть вложено как гиперболоид в пятимерное пространство Минковского (см. рамку 5.А). Можно представлять его как замкнутую Вселенную, которая сначала сжимается от бесконечности до некоторого минимального радиуса, а затем вновь экспоненциально расширяется. Метрика может быть записана в виде фридмановской Вселенной с масштабным множителем ch(Ht). Замена τ = it превращает ch в обычный cos, что дает евклидову метрику на 4-сфере радиусом (см. рамку 5.Б). Так мы приходим к мысли, что волновая функция, которая меняется экспоненциально с 3-метрикой h_ij, соответствует евклидовой метрике в мнимом времени. С другой стороны, быстро осциллирующая волновая функция соответствует лоренцевской метрике в реальном времени.