Два естественных выбора для интеграла по путям в квантовой гравитации

1. Асимптотически евклидовы метрики.

2. Компактные метрики без границ.

Первый класс асимптотически евклидовых метрик, очевидно, подходит для расчетов процессов рассеяния (рис. 5.1). В них можно рассматривать частицы, приходящие из бесконечности и снова уходящие на бесконечность. Все измерения проводятся на бесконечности, где имеется плоская фоновая метрика, и можно обычным образом интерпретировать малые флуктуации полей как частицы. При этом не стоит спрашивать, что же происходит в области взаимодействия посередине. Именно поэтому в интеграл по путям входят все возможные истории в области взаимодействия, а тем самым и все асимптотически евклидовы метрики.

Однако в космологии представляют интерес измерения, которые выполняются не на бесконечности, а в конечной области. Мы находимся внутри Вселенной, а не смотрим на нее снаружи. Чтобы увидеть, в чем здесь разница, сначала предпо-

92 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рис. 5.1. При расчетах рассеяния мы измеряем характеристики частиц, приходящих и уходящих на бесконечность.

Таким образом мы хотим изучать асимптотически евклидовы метрики

ложим, что интеграл по путям в космологии берется по всем асимптотически евклидовым метрикам. Тогда в вероятности измерений в конечной области будут вноситься два вклада. Первый получается от связных асимптотически евклидовых метрик, второй — от несвязных метрик, которые состоят из компактного пространства-времени, содержащего область измерений, и отдельной асимптотически евклидовой метрики (рис. 5.2). Такие несвязные метрики не могут быть исключены из интеграла по путям по той причине, что их можно приближенно заменить на связные метрики, в которых различные компоненты соединены вместе тонкими трубками или воронками, дающими пренебрежимо малый вклад в действие. Несвязные компактные области пространства-времени не могут влиять на вычисление результатов рассеяния, поскольку они не связаны с бесконечностью, где производятся все измерения. Но они будут влиять на космологические измерения, которые производятся в конечной области. Действительно, вклад от таких несвязных метрик будет доминировать над вкладом от связных асимптотически евклидовых метрик. Поэтому, даже если рассматривать интеграл по путям в космологии по всем асимптотически евклидовым метрикам, эффект

Квантовая космология · 93

Рис. 5.2. Космологические измерения выполняются в конечной области, так что мы можем рассмотреть два типа асимптотически евклидовых метрик: связные (сверху) и несвязные (снизу)

будет почти такой же, как если бы интеграл по путям вычислялся по всем компактным метрикам. Следовательно, кажется более естественным брать интеграл по путям в космологии по всем компактным метрикам без границ, как это было предложено Джимом Хартлем и мной в 1983 г. (Хартль и Хокинг, 1983).

Предположение об отсутствии границ (Хартль и Хокинг).

Интеграл по путям в квантовой гравитации должен браться по всем компактным евклидовым метрикам.

94 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Можно перефразировать это утверждение так:

«Граничное условие для Вселенной состоит в том, что у нее нет границ».

В оставшейся части этой лекции я покажу, что это предположение об отсутствии границ у Вселенной учитывает существование той Вселенной, в которой мы живем, т. е. изотропность и однородность расширяющейся Вселенной с малыми возмущениями метрики. Мы можем наблюдать спектр и статистику этих возмущений, измеряя флуктуации микроволнового фона излучения. Эти результаты пока что согласуются с предсказаниями, полученными на основе предположения об отсутствии границ. Если бы удалось распространить наблюдения микроволнового фона на область меньших угловых масштабов, это стало бы реальной проверкой как этого предположения, так и всей программы евклидовой квантовой гравитации.

Чтобы получить предсказание, используя предположение об отсутствии границ, полезно ввести понятие, которое может описывать состояние Вселенной в данный момент времени. Рассмотрим вероятность того, что пространственно-временное многообразие Μ содержит вложенное трехмерное многообразие Σ с индуцированной метрикой h_ij. Эта вероятность дается интегралом по путям по всем метрикам g_ab на М, которые индуцируют h_ij на Σ.

Если предположить, что Μ односвязно, поверхность Σ будет делить Μ на две части М⁺ и М^- (рис. 5.3). В этом случае вероятность того, что Σ имеет метрику h_ij, можно факторизовать, представив в виде произведения двух волновых функций . Они даются интегралами по путям по всем

метрикам на М⁺ и М^- соответственно, которые индуцируют данную 3-метрику h_ij на Σ.

Квантовая космология · 95

Рис. 5.3. Поверхность Σ делит компактное односвязное многообразие Μ на две части М⁺ и М^-

В большинстве случаев две волновые функции равны, и я буду опускать индексы (+) и (—). Функция называется волновой функцией Вселенной. Если существуют поля материи φ, волновая функция будет также зависеть от их значения φ₀ на Σ. Но она не будет явно зависеть от времени, потому что в замкнутой Вселенной не существует выделенной временной координаты. Предположение об отсутствии границ приводит к тому, что волновая функция Вселенной выражается интегралом по путям по полям на компактном многообразии М⁺, единственной границей которого является Σ (рис. 5.4). Интеграл по путям берется по всем метрикам и полям материи на М⁺, которые согласуются с метрикой h_ij и полями материи φ₀ на Σ.

Положение поверхности Σ можно описать с помощью функции τ от трех координат x_i на Σ. Но волновая функция, определенная интегралом по путям, не может зависеть от τ или от выбора координат ж,. Отсюда вытекает, что волновая