Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Хокинг - природа пространства - времени.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
01.05.2025
Размер:
821.25 Кб
Скачать

Два естественных выбора для интеграла по путям в квантовой гравитации

1. Асимптотически евклидовы метрики.

2. Компактные метрики без границ.

Первый класс асимптотически евклидовых метрик, очевидно, подходит для расчетов процессов рассеяния (рис. 5.1). В них можно рассматривать частицы, приходящие из бесконечности и снова уходящие на бесконечность. Все измерения проводятся на бесконечности, где имеется плоская фоновая метрика, и можно обычным образом интерпретировать малые флуктуации полей как частицы. При этом не стоит спрашивать, что же происходит в области взаимодействия посередине. Именно поэтому в интеграл по путям входят все возможные истории в области взаимодействия, а тем самым и все асимптотически евклидовы метрики.

Однако в космологии представляют интерес измерения, которые выполняются не на бесконечности, а в конечной области. Мы находимся внутри Вселенной, а не смотрим на нее снаружи. Чтобы увидеть, в чем здесь разница, сначала предпо-

92 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Рис. 5.1. При расчетах рассеяния мы измеряем характеристики частиц, приходящих и уходящих на бесконечность.

Таким образом мы хотим изучать асимптотически евклидовы метрики

ложим, что интеграл по путям в космологии берется по всем асимптотически евклидовым метрикам. Тогда в вероятности измерений в конечной области будут вноситься два вклада. Первый получается от связных асимптотически евклидовых метрик, второй — от несвязных метрик, которые состоят из компактного пространства-времени, содержащего область измерений, и отдельной асимптотически евклидовой метрики (рис. 5.2). Такие несвязные метрики не могут быть исключены из интеграла по путям по той причине, что их можно приближенно заменить на связные метрики, в которых различные компоненты соединены вместе тонкими трубками или воронками, дающими пренебрежимо малый вклад в действие. Несвязные компактные области пространства-времени не могут влиять на вычисление результатов рассеяния, поскольку они не связаны с бесконечностью, где производятся все измерения. Но они будут влиять на космологические измерения, которые производятся в конечной области. Действительно, вклад от таких несвязных метрик будет доминировать над вкладом от связных асимптотически евклидовых метрик. Поэтому, даже если рассматривать интеграл по путям в космологии по всем асимптотически евклидовым метрикам, эффект

Квантовая космология · 93

Рис. 5.2. Космологические измерения выполняются в конечной области, так что мы можем рассмотреть два типа асимптотически евклидовых метрик: связные (сверху) и несвязные (снизу)

будет почти такой же, как если бы интеграл по путям вычислялся по всем компактным метрикам. Следовательно, кажется более естественным брать интеграл по путям в космологии по всем компактным метрикам без границ, как это было предложено Джимом Хартлем и мной в 1983 г. (Хартль и Хокинг, 1983).

Предположение об отсутствии границ (Хартль и Хокинг).

Интеграл по путям в квантовой гравитации должен браться по всем компактным евклидовым метрикам.

94 · Глава 5 — Стивен Хокинг

Можно перефразировать это утверждение так:

«Граничное условие для Вселенной состоит в том, что у нее нет границ».

В оставшейся части этой лекции я покажу, что это предположение об отсутствии границ у Вселенной учитывает существование той Вселенной, в которой мы живем, т. е. изотропность и однородность расширяющейся Вселенной с малыми возмущениями метрики. Мы можем наблюдать спектр и статистику этих возмущений, измеряя флуктуации микроволнового фона излучения. Эти результаты пока что согласуются с предсказаниями, полученными на основе предположения об отсутствии границ. Если бы удалось распространить наблюдения микроволнового фона на область меньших угловых масштабов, это стало бы реальной проверкой как этого предположения, так и всей программы евклидовой квантовой гравитации.

Чтобы получить предсказание, используя предположение об отсутствии границ, полезно ввести понятие, которое может описывать состояние Вселенной в данный момент времени. Рассмотрим вероятность того, что пространственно-временное многообразие Μ содержит вложенное трехмерное многообразие Σ с индуцированной метрикой hij. Эта вероятность дается интегралом по путям по всем метрикам gab на М, которые индуцируют hij на Σ.

Если предположить, что Μ односвязно, поверхность Σ будет делить Μ на две части М+ и М- (рис. 5.3). В этом случае вероятность того, что Σ имеет метрику hij, можно факторизовать, представив в виде произведения двух волновых функций . Они даются интегралами по путям по всем

метрикам на М+ и М- соответственно, которые индуцируют данную 3-метрику hij на Σ.

Квантовая космология · 95

Рис. 5.3. Поверхность Σ делит компактное односвязное многообразие Μ на две части М+ и М-

В большинстве случаев две волновые функции равны, и я буду опускать индексы (+) и (—). Функция называется волновой функцией Вселенной. Если существуют поля материи φ, волновая функция будет также зависеть от их значения φ0 на Σ. Но она не будет явно зависеть от времени, потому что в замкнутой Вселенной не существует выделенной временной координаты. Предположение об отсутствии границ приводит к тому, что волновая функция Вселенной выражается интегралом по путям по полям на компактном многообразии М+, единственной границей которого является Σ (рис. 5.4). Интеграл по путям берется по всем метрикам и полям материи на М+, которые согласуются с метрикой hij и полями материи φ0 на Σ.

Положение поверхности Σ можно описать с помощью функции τ от трех координат xi на Σ. Но волновая функция, определенная интегралом по путям, не может зависеть от τ или от выбора координат ж,. Отсюда вытекает, что волновая