62 · Глава 3 — Стивен Хокинг

вен exp :

Дифференцируя ln Z по периоду β, можно получить среднее значение энергии или, другими словами, массу:

Таким образом находим, что масса . Это подтверж-

дает уже известную связь между массой и периодом, или обратной температурой Вселенной. Однако можно продвинуться дальше. Следуя стандартным термодинамическим рассуждениям, логарифм статистической суммы равен взятой с обратным знаком свободной энергии F, деленной на температуру Т:

Но свободная энергия равна массе или энергии плюс произведение температуры на энтропию S:

F=(E)- TS.

Собирая все вместе, нетрудно видеть, что действие для черной дыры дает энтропию 4πΜ²:

Это именно то, что требуется для того, чтобы законы черных дыр стали полным аналогом законов термодинамики.

Откуда берется внутренняя гравитационная энтропия, не имеющая аналогов в других квантовых теориях поля? Причина ее появления в том, что гравитация допускает различные топологии пространственно-временного многообразия. В случае, который мы рассматриваем, евклидово-шварцшильдовское решение имеет границу на бесконечности с топологией S² x S¹.

Квантовые черные дыры · 63

Рис. 3.8. Бесконечно удаленная граница для евклидово-шварцшильдовского решения

Поверхность S² — это большая пространственноподобная 2-сфера на бесконечности, a S¹ соответствует направлению мнимого времени, концы которого периодически отождествлены (рис. 3.8). Можно вложить в эту границу метрики по крайней мере с двумя разными топологиями. Одна, конечно, евклидово-шварцшильдовская метрика с топологией R² x S², т.е. евклидова 2-плоскость, умноженная на 2-сферу. Другая — это R³ x S¹, т.е. топология евклидового плоского пространства с периодически отождествленными в направлении мнимого времени границами. Эти топологии имеют различные характеристики Эйлера. Эйлерова характеристика периодически отождествленного плоского пространства равна нулю, в то время как для евклидово-шварцшильдовского решения — двум. Смысл всего этого состоит в следующем: на топологии периодически отождествленного плоского пространства можно найти периодическую функцию времени т, градиент которой нигде не обращается в нуль и которая согласована с координатой мнимого времени на бесконечности. Тогда можно составить

64 · Глава 3 — Стивен Хокинг

действие для области между поверхностями τ₁ и τ₂. При этом получается два вклада в действие: объемный интеграл от лангражиана для материи и лагранжиана Эйнштейна-Гильберта и поверхностное слагаемое. Если решение не зависит от времени, то поверхностное слагаемое при τ = τ₁ будет сокращаться со слагаемым при τ = τ₂. Тогда реальный вклад в поверхностное слагаемое появится только от границы на бесконечности. Это дает половину массы, умноженной на интервал мнимого времени (τ₂ —τ₁). Если масса ненулевая, то должны быть создающие массу ненулевые поля материи. Можно показать, что интеграл по объему от лагранжиана полей материи и лагранжиана Эйнштейна-Гильберта также дает 1/2М(τ₂ —τ₁). Тогда полное действие равно Μ(τ₂ —τ₁) (рис. 3.9). Если подставить этот вклад в логарифм статистической суммы в термодинамической формуле, можно найти, что среднее значение энергии равно массе, как и следовало ожидать. Однако вклад в энтропию от фоновых полей будет равен нулю.

Рис. 3.9. Действие для периодически отождествленного евклидового плоского пространства равно Μ(τ₂ —τ₁)

Ситуация несколько отличается для евклидово-шварцшильдовского решения. Поскольку характеристика Эйлера

Квантовые черные дыры · 65

Рис. 3.10. Полное действие для евклидово-шварцшильдовского действия равное , без учета вклада от угла для r = 2M

равна не нулю, а двум, невозможно найти такую функцию времени т, градиент которой был бы повсюду отличен от нуля. Лучшее, что можно сделать — это выбрать координату мнимого времени в решении Шварцшильда. Оно имеет на горизонте фиксированную 2-сферу, на которой τ ведет себя подобно угловой переменной. Если теперь вычислить действие между двумя поверхностями τ = const, объемный интеграл обратится в нуль, поскольку поля материи отсутствуют, и скалярная кривизна равна нулю. Поверхностное слагаемое со следом К на бесконечности снова дает Однако теперь существует и другое поверхностное слагаемое на горизонте, когда поверхности τ₁ и τ₂ пересекаются в угле. Можно вычислить этот вклад и найти, что он также равен (рис. 3.10). Поэтому полное действие для области между τ₁ и τ₂ равно М(τ₂ —τ₁). Если использовать это действие, положив τ₂ —τ₁ = β, нетрудно найти, что энтропия будет равна нулю. Однако, если смотреть на действие евклидово-шварцшильдовского решения с четырехмерной точки зре-