60 · Глава 3 — Стивен Хокинг

Рис. 3.7. Статистическая сумма при температуре T может быть представлена как интеграл по путям по всем полям в евклидовом пространстве-времени с периодом β = Т~ по мнимому времени

путанные вычисления смешивания решений с разными частотами привели к излучению, которое находится в тепловом равновесии. Однако такой вывод обходит проблему вклада очень высоких частот, которые следует учитывать в подходе смешивания решений с разными частотами. Он может быть использован в том случае, когда существует взаимодействие между квантовыми полями на заданном фоне. Фактически то, что интеграл по путям вычисляется на периодическом фоне, приводит к тому, что все физические величины типа средних значений будут соответствовать состояниям теплового равновесия. Это было бы очень трудно установить в подходе со смешиванием частот.

Можно даже расширить эти взаимодействия, чтобы учесть взаимодействия непосредственно с гравитационным полем. Начнем с фоновой метрики g₀, такой как евклидово-шварцшильдовская метрика, являющаяся решением классических уравнений поля. Действие I можно разложить в степенной ряд по возмущениям δg вблизи g₀:

Квантовые черные дыры · 61

При этом линейное слагаемое обращается в нуль в силу того, что g₀ является решением полевых уравнений. Квадратичные слагаемые можно воспринимать как описание гравитонов на заданном фоне, в то время как кубичное и более высокие слагаемые в разложении описывают взаимодействие между гравитонами. Интеграл по путям по квадратичным слагаемым является конечным. В чисто гравитационной теории существуют неперенормируемые расходимости в двухпетлевых диаграммах, но в теориях супергравитации они сокращаются со вкладом фермионов. Неизвестно, имеют ли теории супергравитации расходимости в трех и более петлях, поскольку до сих пор не нашлось никого, кто был бы достаточно отважен или безрассуден, чтобы проделать эти вычисления. В ряде последних работ есть указания на то, что эти теории могут быть конечны во всех порядках. Но даже если существуют расходимости в высших петлях, они дадут очень малые отличия, за исключением случая, когда фоновая метрика соответствует искривлению на масштабах длины Планка, т.е. 10^-33 см.

Более интересным по сравнению со слагаемыми высшего порядка является слагаемое нулевого порядка, а именно, действие с фоновой метрикой g₀:

Обычное действие Эйнштейна-Гильберта в общей теории относительности является объемным интегралом от скалярной кривизны R. Она равна нулю для вакуумных решений, так что можно считать, что действие для евклидово-шварцшильдовского решения равно нулю. Однако в действии существует также поверхностное слагаемое, пропорциональное интегралу от К, т.е. от следа второй квадратичной формы на граничной поверхности. Если учесть это слагае-

мое и вычесть из него поверхностное слагаемое для плоского пространства, можно найти, что действие с евклидово -шварцшильдовской метрикой равно , где β — период

по мнимому времени на бесконечности. Тогда доминирующий вклад в интеграл по путям для статистической суммы Ζ pa-