56 · Глава 3 — Стивен Хокинг

с массой, равной массе Солнца, будет иметь энтропию порядка 10⁷⁸. Эта величина отражает то колоссальное число различных способов, которыми может быть создана черная дыра.

Тепловое излучение черной дыры

Когда я пришел к открытию излучения черных дыр, казалось чудом, что довольно неаккуратные вычисления приводят к излучению, которое в точности является тепловым. Однако в совместной работе с Джимом Хартлем и Гарри Гиббонсом были найдены глубокие причины этого. Чтобы их объяснить, я начну с примера метрики Шварцшильда.

Метрика Шварцшильда

Эта метрика соответствует гравитационному полю, которое создает невращающаяся черная дыра. В обычных координатах r и t эта метрика обладает кажущейся особенностью при шварцшильдовском радиусе r = 2М. Однако эта особенность является лишь следствием плохого выбора координат. Можно выбрать другие координаты, в которых метрика в этой точке будет регулярной.

Диаграмма Картера-Пенроуза имеет вид ромба, со срезанными верхом и низом (рис. 3.4). Она делится на четыре области двумя нулевыми поверхностями, на которых r = 2М. Область справа, отмеченная на диаграмме как является

асимптотически плоским пространством, в котором, как мы полагаем, мы и живем. Она имеет нулевые бесконечности и в прошлом и в будущем, подобно плоскому пространству-времени. С левой стороны диаграммы существует другая асимптотически плоская область , которая, по-видимому, соответствует другой вселенной, связанной с нашей только гор-

Квантовые черные дыры · 57

ловиной. Однако, как мы увидим, она связана с нашей областью с помощью мнимого времени. Нулевая поверхность, идущая снизу слева вверх направо, является границей области, из которой можно уйти на правую бесконечность. Поэтому она является горизонтом событий будущего, причем эпитет «будущий» добавлен для того, чтобы отличать его от горизонта событий прошлого, идущего снизу справа вверх налево.

Рис. 3.4. Диаграмма Картера —Пенроуза для вечно существующей шварцшильдовской черной дыры

Вернемся теперь к метрике Шварцшильда в первоначальных координатах r и t. Если положить t = iτ, получается положительно определенная метрика. Я буду называть такие метрики евклидовыми, хотя они могут соответствовать искривленному пространству. В такой евклидово-шварцшильдовской метрике по-прежнему существует кажущаяся сингулярность при r = 2М. Однако можно определить новую радиальную координату х, равную 4M (l — 2Mr^-1) ^1/2.

Евклидово - шварцшильдовская метрика

58 · Глава 3 — Стивен Хокинг

Рис. 3.5. Евклидово —шварцшильдовское решение, в котором τ выбрано периодическим

Метрика в плоскости x-τ становится тогда подобна метрике в полярной системе координат, если сопоставить координату τ с периодом 8πΜ. Аналогично, другие евклидовы метрики для черной дыры будут иметь кажущиеся сингулярности на своих горизонтах, которые могут быть устранены сопоставлением мнимой временной координаты с периодом (рис. 3.5).

В чем состоит смысл использования мнимого времени, отождествленного с некоторыми периодом β? Чтобы это увидеть, рассмотрим амплитуду перехода из некоторой конфигурации поля φ₁ на поверхности t₁ в конфигурацию φ₂ на плоскости t₂- Она дается матричным элементом оператора . Однако ее можно также представить с помощью интеграла по путям по всем полям φ в интервале времени между t₁ и t₂, которые совпадают с данными полями φ₁ и φ₂ на двух поверхностях (рис. 3.6).

Выберем интервал времени (t₁ — t₂) чисто мнимым и равным β (рис. 3.7). Можно также считать начальное поле φ₁ равным конечному полю φ₂ и просуммировать по полному базису состояний φ_n. Тогда с левой стороны получаем среднее значение , просуммированное по всем состояниям. Это выражение совпадает с термодинамической статистической суммой Ζ при температуре

Квантовые черные дыры · 59

Рис. 3.6. Амплитуда перехода из состояния φ₁ в момент времени t₁ в состояние φ₂, заданное в момент времени t₂

С правой стороны уравнения записан интеграл по путям. Положим в нем φ₁ = φ₂ и просуммируем по всем конфигурациям поля φ_n. Это означает, что эффективно происходит вычисление интеграла по путям по всем полям φ в пространстве-времени, которое обладает периодичностью по мнимому времени с периодом β. Такая статистическая сумма для полей φ при температуре Τ дается интегралом по путям по всем полям в евклидовым пространстве-времени. Это пространство-время периодично по мнимому времени с периодом β = Т^-1.

Если вычислить интеграл по путям в плоском пространстве-времени, обладающем периодом β по мнимому времени, можно получить обычный результат для статистической суммы излучения черного тела. Однако, как мы уже видели, евклидово-шварцшильдовское решение является также периодическим в мнимом времени с периодом . Это означает, что поля на фоне решения Шварцшильда ведут себя так, как если бы они находились в состоянии теплового равновесия с температурой

Периодичность в мнимом времени объясняет, почему за-