26 · Глава 1 — Стивен Хокинг

Рис. 1.11. Эволюция Коши D⁺(S) в будущее для множества S и ее граница в будущем — горизонт Коши H⁺(S)

из данных на S. Теперь предположим, что эволюция Коши в будущее является компактной. Отсюда вытекает, что эволюция Коши будет иметь в будущем границу H⁺(S), называемую горизонтом Коши. С помощью рассуждений, аналогичных тем, что были использованы для границы будущего точки, можно установить, что горизонт Коши будет порождаться отрезками нулевых геодезических без конечных точек в прошлом. Однако, поскольку эволюция Коши предполагается компактной, горизонт Коши должен быть также компактным. Это означает, что генераторы нулевых геодезических будут навиваться внутри компактного множества.

Они будут достигать предельной нулевой геодезической λ, которая не имеет на горизонте конечных точек в прошлом или будущем (рис. 1.12). Но если λ была бы геодезически полной, общее энергетическое условие приводило бы к тому, что она должна содержать сопряженные точки p и q. Точки на геодезической λ вне точек p и q могли бы соединяться времениподобной кривой. Но это привело бы к противоречию, поскольку на горизонте Коши не может быть двух точек, разделенных

Классическая теория · 27

Рис. 1.12. На горизонте Коши существует предельная нулевая геодезическая λ, не имеющая конечных точек в прошлом или будущем на горизонте Коши

времениподобным интервалом. Следовательно, либо λ не является геодезически полной и теорема доказана, либо эволюция Коши в будущее S — некомпактное множество.

В последнем случае можно показать, что существует направленная в будущее времениподобная кривая γ из S, которая никогда не покидает эволюцию Коши для S в будущее. Аналогичные рассуждения показывают, что γ может быть продолжена в прошлое до кривой, которая никогда не покидает эволюцию Коши D^-(S) в прошлое (рис. 1.13). Рассмотрим последовательность точек х_п на γ, направленную в будущее, и аналогичную последовательность у_п, направленную в прошлое. Для каждого значения п точки х_п и у_п разделены времениподобным интервалом и находятся в глобально гиперболической эволюции Коши множества S. Тогда должна существовать времениподобная геодезическая максимальной длины λ_п из х_п к у_п. Все λ_п будут пересекать компактную пространственно-подобную поверхность S. Это означает, что в эволюции Коши будет существовать времениподобная геодезическая λ, которая является пределом времениподобных геодезических λ_п (рис. 1.14). Либо λ должна быть неполной, и в этом случае

28 · Глава 1 — Стивен Хокинг

Рис. 1.13-14

Рис. 1.13. Если эволюция Коши в будущее (прошлое) некомпактна, то существует направленная в будущее (прошлое) времениподобная кривая из S, которая никогда не покидает эволюцию Коши в будущее (прошлое)	Рис. 1.14. Геодезическая λ, которая является пределом γn, будет неполной, потому что в противоположном случае она должна содержать сопряженные точки

теорема доказана, либо она должна содержать сопряженные точки, в силу общего энергетического условия. Но в этом случае λ_п будут содержать сопряженные точки при достаточно больших п. Это находится в противоречии с тем, что λ_п предполагались кривыми максимальной длины. Отсюда можно заключить, что пространство является неполным по отношению к нулевым или времениподобным геодезическим. Другими словами, должна существовать сингулярность.

Теоремы предсказывают наличие сингулярностей в двух ситуациях. Одна из них возникает в будущем при гравитационном коллапсе звезд и других массивных тел. Такие сингулярности должны возникать в конечный момент времени,

Классическая теория · 29

по крайней мере для частиц, движущихся по неполным геодезическим. Другая ситуация, при которой предсказывается существование сингулярностей, относится к прошлому, к началу теперешнего расширения Вселенной. Это привело к отказу от попыток (делавшихся в основном русскими учеными) утверждать, что была предыдущая фаза сжатия, которая несингулярным образом сменилась расширением. Почти все специалисты сейчас убеждены, что Вселенная и само время появились в момент Большого взрыва. Это открытие является значительно более важным, чем открытие нескольких нестабильных частиц, однако не настолько важным, чтобы быть столь же щедро отмеченным Нобелевскими премиями.

Предсказание сингулярностей означает, что классическая общая теория относительности не является полной теорией. Поскольку сингулярные точки должны быть вырезаны из пространственно-временного многообразия, в них нельзя определить уравнение поля и тем самым предсказать, что произойдет с сингулярностями. Для сингулярности в прошлом, кажется, есть только один способ справиться с этой проблемой — это обратиться к квантовой гравитации. Я вернусь к этому в своей третьей лекции (глава 5). Но сингулярности, которые предсказываются в будущем, похоже, обладают одним свойством, которое Пенроуз назвал космической цензурой. Это означает, что сингулярности проявляются в таких местах, которые, подобно черным дырам, скрыты от внешних наблюдателей. Поэтому любые нарушения предсказуемости, которые могут проявляться в этих сингулярностях, не влияют на то, что происходит во внешнем мире, по крайней мере, в соответствии с классической теорией.