10. Движение небесных тел (в книге)

11.Модель динамики численности биологических популяций

Попытки математического описания динамики численности отдельных биологических популяций и сообществ имеют солидную историю. Одна из первых моделей динамики роста популяций принадлежит Т. Мальтусу (1766–1834), английскому экономисту и священнику. 

В своем труде «Опыт о законе народонаселения» (1798 г.) Мальтус утверждал, что в человеческом обществе, как и во всей живой природе, существует абсолютный закон безграничного размножения особей. При этом рост населения Земли идет в геометрической прогрессии, в то время как средства существования увеличиваются лишь в арифметической. Мальтус, абсолютизируя роль биологических факторов в воспроизводстве населения, рисует жестокие последствия открытого им закона народонаселения: «Человек, появившийся на свет, уже занятый другими людьми, если он не получил от родителей средств к существованию, на которые он вправе рассчитывать, если общество не нуждается в его труде, не имеет никакого права требовать для себя какого-нибудь пропитания, ибо он совершенно лишний на этом свете. На великом пиршестве природы для него нет прибора. Природа приказывает ему удалиться, и если он не может прибегнуть к состраданию кого-либо из пирующих, она сама принимает меры к тому, чтобы ее приказание было приведено в исполнение». Врачебную деятельность Мальтус считал противоестественной, так как она сохраняет жизнь «лишним людям».  Модель Мальтуса в математической форме выглядит довольно просто. Пусть ^ N(t) – численность изучаемой популяции в момент t. Согласно Мальтусу, скорость прироста популяции прямо пропорциональна ее численности в данный момент:  dN/dt=aN, где a – разность между коэффициентами рождаемости и смертности. Интегрируя это уравнение получаем:  N(t)=N(0)e^at, где N(0) – численность популяции в момент t = 0. Очевидно, что модель Мальтуса при а > 0 дает бесконечный рост численности, что никогда не наблюдается в природных популяциях, где ресурсы, обеспечивающие этот рост, всегда ограничены. Изменения численности популяций растительного и животного мира нельзя описывать простым законом Мальтуса, на динамику роста влияют многие взаимосвязанные причины – в частности, размножение каждого вида саморегулируется и видоизменяется так, чтобы этот вид сохранялся в процессе эволюции.  Математическим описанием этих закономерностей занимается математическая экология – наука об отношениях растительных и животных организмов и образуемых ими сообществ между собой и с окружающей средой. 

12. Модель движения материальной точки

13.Метод Эйлера решения дифференциальных уравнений

Уравнение, содержащие производную функции одной переменной, возникают во многих областях прикладной математики. Вообще говоря, любая физическая ситуация, где рассматривается степень изменения одной переменной по отношению к другой переменной, описывается дифференциальным уравнением, а такие ситуации встречаются довольно частоМетод ЭйлераРешить дифференциальное уравнение у^/=f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х₀, х₁…, х_n и числа у₀, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у₁, у₂,…, у_n, что у_i=F(x_i)(i=1,2,…, n) и F(x₀)=y₀.Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функцииУ=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.Метод Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других методов.Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядкаy^/=f(x,y) (1)с начальным условиемx=x₀, y(x₀)=y₀ (2)Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х₀, х₁, х₂,…, х_n, где x_i=x₀+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.В методе Эйлера приближенные значения у(х_i)y_i вычисляются последовательно по формулам у_i+hf(x_i, y_i) (i=0,1,2…).При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку М₀(х₀, у₀), заменяется ломаной М₀М₁М₂… с вершинами М_i(x_i, y_i) (i=0,1,2,…); каждое звено М_iM_i+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку М_i, смотри рисунок 1.

Если правая часть уравнения (1) в некотором прямоугольнике R{|x-x₀|a, |y-y₀|b}удовлетворяет условиям:

|f(x, y₁)- f(x, y₂)|  N|y₁-y₂| (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)|  M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(x_n)-y_n|  hM/2N[(1+hN)ⁿ-1], (3)

где у(х_n)-значение точного решения уравнения(1) при х=х_n, а у_n- приближенное значение, полученное на n-ом шаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическое применение. На практике иногда оказывается более удобнымдвойной просчет: сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность более точного значения у_n^* оценивается формулой

|y_n-y(x_n)||y_n^*-y_n|. (4)

Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.