Транспортная задача. Метод потенциалов

Постановка транспортной задачи.

В каждом из пунктов P_i, i=1...,m, производится a_i единиц некоторого однородного продукта, а в каждом из пунктов Q_j, j=1...,n, потребляется b_j единиц того же продукта. Возможная транспортировка продукта из каждого пункта производства _Pi в каждый пункт потребления _Qj. Стоимость перевозки единицы продукта из пункта _Pi в пункт _Qj известна и составляет _сіj единиц. Считая, что суммарный объем производства равняется суммарному объему потребления, нужно составить план перевозок продукта, что минимизирует суммарные транспортные расходы.

Математическая модель транспортной задачи имеет вид:

L(x)= c₁₁ x₁₁ +...+ c_1n x_1n +...+ c_m1 x_m1 +...+ c_mn x_mn  min

x_i1 +...+ x_in = a_i, i=1...,m

x_1j +...+ x_mj = b_j, j=1...,n

x_ij0, i=1...,m, j=1...,n

a₁ +...+ a_m = b₁ +...+ b_n.

Последнее условие определяет сбалансированную транспортную задачу.

В предложенной модели назовем вектор x=(x₁₁...,x_1n,...,x_m1,...,x_mn) вектором перевозок, вектор b=(a₁...,a_m,b₁,...,b_n) т — вектором запасов-потребностей, вектор A_ij=(0...,0,1,0...,0,0,...,0,1,0,...,0) ^т — вектором коммуникации PiQj (вектор A_ij имеет размерность m+n, причем первая единица стоит на і-у месте, а вторая — на m+j-у) и, наконец, вектор c=(c₁₁...,c_1n,...,c_m1,...,c_mn) - вектором транспортных расходов.

Основные определения.

Поскольку транспортная задача является случаем части задачи линейного программирования, для нее имеют силу все общие определения последней. В частности, замеченное относится также и к допустимому базисному решению (ДБР), как невырожденному, так и вырожденному.

Последовательность коммуникаций, среди которых нет одинаковых, вида:

называется маршрутом, что связывает пункты и .

Маршрут, к которому прибавленная коммуникация , называется замкнутым маршрутом (циклом).

Коммуникация PiQj называется основной коммуникацией решения x, если соответствующая ей компонента развязку x_ij>0.

Подобные определения имеют место и для клеточек транспортной таблицы.

Свойства транспортной задачи.

1. Сбалансированная транспортная задача всегда допустимая и имеет оптимальное решение.

2. Ранг матрицы А ограничений транспортной задачи равняется m+n–1, в результате чего допустимое базисное решение задачи содержит не более m+n–1 ненулевых перевозок x_ij.

3. Если в транспортной задаче все числа a_i, i=1...,m, b_j, j=1...,n — цели, то хотя бы одно оптимальное решение задачи — целочисленный.

Основные теоремы.

1. Решение транспортной задачи базисное, если из его основных коммуникаций невозможно составить замкнутый маршрут (цикл).

2. ДБР x=(x_ij, i=1...,m, j=1...,n) оптимальный тогда и только затем, когда существуют потенциалы u_i, v_j такие, что

v_j – u_i = с_іj, если x_ij  базисная перевозка

v_j – u_i  с_іj, если x_ij  небазисная перевозка.

Методы поиска выходного ДБР.

Метод северо-западного угла.

Метод состоит из однотипных шагов, поэтому его формальное изложение дадим лишь для 1-го шага. Заполняем северо-западную клеточку таблицы, покладая x₁₁ = min{a₁, b₁}. Возможные три случая:

1. a₁<b₁, тогда x₁₁=a₁ и вычеркивается 1-я строка таблицы;

2. a₁>b₁, тогда x₁₁=b₁ и вычеркивается 1-й столбец таблицы;

3. a₁=b₁, тогда x₁₁=a₁=b₁ и вычеркивается как 1-я строка, так и 1-й столбец. В последнем случае в одну из вычеркнутых клеточек заносится нулевая базисная перевозка (соответствующий выходной допустимое базисное решение будет вырожденным).

Во всех случаях после заполнения базисной клеточки объемы запасов a₁ и потребностей b₁ уменьшают на величину, что равняется x₁₁. Конец шага.

На каждом из следующих шагов рассматривается «обрезанная» транспортная таблица, то есть вычеркнутые строки и столбцы игнорируются.

Метод минимального элемента.

Метод отличается от предыдущего тем, что вместо северо-западной клеточки на каждом шагу выбирается клеточка с наименьшим значением транспортных расходов с_іj.

Метод вычеркивания.

Метод применяется при построении цикла. На каждом шагу методу в транспортной таблице вычеркивается либо строка, либо столбец, которые в дальнейшем игнорируются. Вычеркивать надлежит строки (столбцы), которые имеют только одну базисную клеточку. Невычеркнутые клеточки транспортной таблицы образуют цикл.

Алгоритм метода потенциалов.

1. Находится исходное допустимое базисное решение (ДБР), например, с помощью одного из упомянутых выше методов.

2. В дальнейшем метод потенциалов состоит из однотипных шагов, на каждом из которых:

i) Вычисляются потенциалы строк u_i, i=1...,m, и столбцов v_j, j=1...,n, транспортной таблицы как решение системы v_j–u_i=c_ij, где и и j принимают такие значения, что клеточки (і,j) — базисные.

ii) Вычисляются оценки переменных x_ij для всех небазисных клеточек (і,j) за формулой _ij=cij–v_j+u_i (оценки базисных переменных — нулевые).

iii) Найденные оценки _ij проверяются на неотъемлемость. Если все _ij0, i=1...,m, j=1...,n, то текущий ДБР оптимальный. Иначе переходят к улучшению ДБР (пункт iv)).

iv) Определяют клеточку (k,l) с минимальной отрицательной оценкой, и присоединяют ее к совокупности базисных. Находят цикл (например, методом вычеркивания). Разделяют цикл на положительный и отрицательный полуциклы, последовательно помечая клеточки  вершины цикла знаками «+» и «–«, начиная с клеточки (k,l), которую первой относят к положительному полцикла, следующую за ней — к отрицательному, третью — к положительному и т.д. Среди клеточек отрицательного полцикла определяют клеточку (s,r) с минимальной величиной перевозки x_ij (если таких клеточек несколько, то выбирают только одну из них). Возлагают =x_sr. Увеличивают на значение  перевозка x_ij в клеточках положительного полцикла и уменьшают их на то же значение в клеточках отрицательного полцикла. В результате осуществления указанных процедур клеточка (k,l) вводится к совокупности базисных, а клеточка (s,r) перестает быть базисной (на ней разрывают цикл). Конец шага.

Программное обеспечение.

Обучающий модуль, с помощью которого транспортная задача Решается в диалоге с пользователем за выложенным алгоритмом, вызывается из раздела «ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ» главного меню пакета ПЗ–МО.

Задание.

Решить методом потенциалов транспортные задачи, условия которых задаются модулем с помощью команды «Данные» главного меню (задачи №1–№9), а также следующие задачи:

1)	a\b	25	40	50	35	45	2)	a\b	35	30	50	25	65
	20	7	3	4	8	6		50	8	6	7	3	4
	60	5	7	2	3	5		50	7	4	9	3	4
	45	1	4	5	2	6		55	6	1	4	5	2
	70	3	4	2	7	8		50	7	8	3	4	2

3)	a\b	10	40	20	60	20	4)	a\b	70	40	30	60	50
	30	5	1	5	2	4		20	6	1	7	3	3
	70	5	7	6	3	2		90	7	4	4	8	4
	25	1	5	4	2	6		80	8	2	3	5	7
	25	1	6	3	3	5		60	3	4	2	8	5

5)	a\b	30	90	80	20	30	6)	a\b	10	30	25	15	20
	95	2	8	4	6	3		20	9	1	5	7	1
	55	3	2	5	2	6		15	2	8	4	8	1
	40	6	5	8	7	4		45	2	3	2	8	5
	60	3	4	4	2	1		20	6	1	3	4	7

7)	a\b	13	13	13	13	28	8)	a\b	11	13	26	10	10
	28	8	4	6	3	1		24	9	1	3	2	7
	13	9	3	8	5	7		12	6	9	4	1	5
	19	7	3	5	9	8		18	9	1	2	8	5
	20	2	1	4	5	7		16	3	3	9	6	8

9)	a\b	10	35	15	25	35	10)	a\b	30	80	65	35	40
	30	7	3	1	5	4		60	8	2	4	9	1
	25	7	5	8	3	2		55	7	5	5	3	6
	45	6	4	8	3	2		85	9	4	6	2	7
	20	3	1	7	6	2		50	5	3	2	6	4

Ответы:

1) L(x*)= 575. 2) L(x*)= 710. 3) L(x*)= 360. 4) L(x*)= 910. 5) L(x*)= 750.

6) L(x*)= 200. 7) L(x*)= 209. 8) L(x*)= 184. 9) L(x*)= 285. 10) L(x*)= 785.

Лабораторная работа 6.