
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ШКОЛА ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК ДВФУ
Исследование затухающих колебаний в колебательном контуре Лабораторная работа № 3. 57 Учебно-методическое пособие
Владивосток 2012
3. 57 Исследование затухающих колебаний в колебательном контуре
Цель работы: изучение процессов в колебательном контуре, возникающих при его возбуждении, исследование влияния параметров контура на протекание этих процессов.
Оборудование: Осциллограф со встроенным генератором импульсов, магазин емкости, магазин индуктивности, магазин сопротивления, провода.
Теория метода
Колебательным контуром называют систему, состоящую из катушки с индуктивностью L, конденсатора электроемкостью С и омического сопротивления R, обусловленного обмоткой катушки и подводящих проводов. Если сопротивлением катушки и проводов можно пренебречь, то такой контур называется идеальным.
Рассмотрим процессы, возникающие в реальном электрическом колебательном контуре, см. рисунок 1. Изображенная на рис. 1 схема называется схемой с сосредоточенными параметрами. Омическое сопротивление катушки и проводов эквивалентно сопротивлению резистора R, включенного последовательно с конденсатором и катушкой, при этом катушка обладает только индуктивностью L.
Р
ассмотрим
вначале процессы, протекающие в контуре
качественно. Для возбуждения в контуре
колебаний конденсатор предварительно
заряжают от источника постоянного тока
ε, поставив
ключ П в положение 1, сообщая его обкладкам
заряд q. Тогда в начальный
момент времени t = 0 между
обкладками конденсатора возникнет
электрическое поле, энергия которого
равна
.
При замыкании конденсатора на катушку
индуктивности (ключ в положении 2) он
начинает разряжаться, и в контуре потечёт
возрастающий со временем ток, который
будет создавать внутри катушки
нарастающее магнитное поле. При этом в
катушке возникает ЭДС самоиндукции ε,
пропорциональная скорости изменения
тока:
.
(1)
Согласно правилу Ленца ЭДС самоиндукции
противодействует нарастанию тока и,
следовательно, замедляет разряд
конденсатора. В результате энергия
электрического поля будет уменьшаться,
а энергия магнитного поля катушки
возрастать. В момент времени t
= Т/4 энергия электрического поля
обращается в нуль, а ток I
и энергия магнитного поля W
достигают наибольшего значения:
.
Начиная с этого момента, ток в контуре будет убывать, а, следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки. Это снова вызовет появление ЭДС самоиндукции, но на этот раз направленной на поддержание магнитного поля и, следовательно, в катушке индуцируется ток, направленный в ту же сторону, что и первоначальный ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле стремящееся ослабить ток, который, в конце концов, обратится в нуль. Заряд на пластинах конденсатора, а, следовательно, и энергия электрического поля к моменту t = Т/2 достигнут максимума. Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении, и система к моменту t = T придет в первоначальное состояние. После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки.
Происходящие при этом процессы изменения заряда на конденсаторе, напряжения между обкладками конденсатора, напряженности электрического и магнитного полей и называются электромагнитными колебаниями. Вследствие необратимых потерь энергии, связанных с преобразованием электромагнитной энергии во внутреннюю на сопротивлении R, эти колебания протекают конечное время.
Рассмотрим далее процесс электромагнитных колебаний количественно. Так как заряд, напряжение между пластинами и др. величины со временем изменяются непрерывно, то для установления закона изменения их со временем следует составить дифференциальное уравнение. Для составления этого уравнения воспользуемся вторым правилом Кирхгофа для цепей постоянного тока, но в данном случае, записанном для мгновенных значений токов, ЭДС и напряжений
Согласно второму правилу Кирхгофа
падение напряжения на обкладках
конденсатора
и активном сопротивлении
равно ЭДС, действующей в контуре:
.
(2)
Так как
,
то с учетом (1) уравнение (2) примет вид:
.
(3)
Поделив обе части уравнения (3) на L
и учитывая, что
получим:
,
(4)
где введены обозначения:
,
.
(5)
Уравнение (4) и есть искомое дифференциальное уравнение свободных электромагнитных колебаний при наличии сопротивления. Решение уравнения (4) имеет вид:
,
(6)
где qo – начальная амплитуда колебаний заряда конденсатора, ω – циклическая частота затухающих колебаний, φo – начальная фаза.
,
(7)
– коэффициент затухания. Более подробное решение показывает, что ω определяется выражением:
,
(8)
где ω и ωо – соответственно циклическая частота колебаний при наличии сопротивления контура и без сопротивления. Циклическая частота – это число колебаний за 2π секунд. Из формулы (8) видно, что наличие сопротивления R в контуре уменьшает частоту колебаний в сравнении с частотой колебания идеального контура.
Так как
,
то из формулы (6) следует зависимость
напряжения на конденсаторе от времени
в виде:
.
(9)
В уравнениях (6) и (9) выражения
и
соответственно играют роль амплитуд
колебаний заряда и напряжения на
конденсаторе колебательного контура.
Например, для напряжения амплитуда
равна:
(10)
Г
рафики
выражений (6) и (9) представлены на рис.
2, кривая 1, пунктирной линией 2 показана
зависимость амплитуды напряжения и
заряда на конденсаторе в относительных
единицах. Как видно из этих графиков,
амплитуда колебаний напряжения и заряда
на конденсаторе убывают, следовательно,
убывает и энергия контура, что связано
с джоулевыми потерями энергии на
сопротивлении.
Из определения циклической частоты для
затухающих колебаний, формула (8), можно
рассчитать величину
.
Как известно из теории гармонических
колебаний, она имеет смысл периода Т. В
нашем случае эта величина будет
определяться выражением:
.
(11)
При записи формулы (11) мы учли выражение
(8). Для затухающих колебаний введенное
понятие периода Т является условным,
так функция U(t),
как видно из графика 1 (рис. 2), не является
периодической. Использование этого
понятия в данном случае можно частично
оправдать двумя факторами: 1) расстояние
вдоль оси времени между двумя
соответствующими точками, определяемое
формулой (10) остается постоянным: 2) при
малых значениях R функция
U(t),
см. уравнение (9), мало отличается от
гармонической, т.к. экспоненциальный
множитель при этом близок к 1. В предельном
случае при R = 0 функция
U(t)
будет строго гармонической. Таким
образом, понятие периода для затухающих
колебаний в определенной степени
оправдано для контуров с малым
сопротивлением R, т.е.
малым коэффициентом затухания
.
Из формулы (11) видно, что при увеличении сопротивления контура R при постоянных значениях L и C, возможна ситуация, при которой подкоренное выражение может стать равным 0, это будет означать, что период колебания Т → ∞, т.е. процесс разрядки конденсатора не будет носить колебательный характер. Такой процесс называют апериодическим. Сопротивление R, при котором имеет место апериодический характер разряда конденсатора в колебательном контуре, называют критическим сопротивлением Rкр. Его можно определить, приравняв 0 подкоренное выражение в формуле (11), тогда получим:
.
(12)
При R < Rкр. Разряд конденсатора носит колебательный характер, если R ≥ Rкр., то разряд конденсатора будет апериодическим.
Для затухающих колебаний, протекающих в колебательном контуре кроме введенных выше характеристик колебаний – циклической частоты ω, периода Т и критического сопротивления Rкр. введем еще три характеристики: время релаксации τ, логарифмический декремент затухания λ, добротность Q.
Временем релаксации τ называют промежуток времени, в течение, которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, е – основание натуральных логарифмов, е ≈ 2,718.
Из этого определения и выражения для амплитуды колебания, например напряжения , следует связь между коэффициентом затухания β и временем релаксации τ:
или
.
(13)
Следовательно, коэффициента затухания β – это физическая величина, обратная времени, по истечении которого амплитуда уменьшается в е раз.
Дадим определение логарифмического декремента затухания λ и добротности колебательной системы Q, а также приведем их связь с параметрами колебательного контура.
Логарифмическим декрементом затухания λ называют физическую величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебания, разделенных промежутком времени в один период:
.
(14)
Для уменьшения погрешностей в определение λ можно брать отношение амплитуд, разделенных целым числом периодов n. В этом случае формула для определения логарифмического декремента затухания примет вид:
(15)
Используя данное определение и формулу (10) получим связь λ с другими характеристиками затухающих колебаний и параметрами контура:
.
(16)
Добротность колебательной системы характеризует потери энергии запасенной контуром. Добротностью контура Q называют физическую величину показывающую, во сколько раз запас энергии контура W превосходит среднюю потерю энергии ΔW за время, в течение которого фаза колебаний изменяется на 1 радиан:
.
(17)
Расчет, проведенный на основе этой формулы в предположении, что затухание колебаний невелико (ωo >> β, при этом ωo ≈ ω) дает для добротности выражения (см. например [3, с.290 – 291; 2, с. 310]):
;
(18)
;
(19)
.
(20)
Формула (18) в данной работе служит для экспериментального определения добротности, формула (19) позволяет дать новую трактовку добротности колебательной системы: добротность – величина, пропорциональная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е раз. Формула (20) служит для теоретической оценки добротности по известным параметрам колебательного контура. Из всех этих формул также видно, что для идеального контура (R = 0) добротность равна ∞.