3. Розрахунок тонкостінних посудин (оболонок)

Розрахункова схема тонкостінної посудини (оболонки, товщина якої значно менша порівняно з її габаритами) охоплює розрахунок багатьох інженерних конструкцій (котлів, баків, резервуарів, газо­вих, парових та водопровідних систем, гідро- і пневмоприводів), бу­дівельних споруд (куполів, перекриттів, башт), а також кровоносних судин і клітинних оболонок деяких рослин.

Загальна схема про рівновагу тонкостінної оболонки дуже склад­на в математичному відношенні і є предметом спеціального дослі­дження (існують школи з теорії і методів розрахунку оболонок (Київ, Харків, Дніпропетровськ, Москва, Казань). Цей матеріал викладено в багатьох підручниках і монографіях.

Розглянемо найважливіший для практики випадок, коли обо­лонка має форму поверхні обертання. Навантаження симетричні відносно осі обертання, а напруження, що виникають в оболонці, є сталими за товщиною.

Рис. 6

Отже, згин оболонки відсутній. Теорію обо­лонок, побудовану на цих припущеннях, називають безмоментною, або мембранною.

Нехай посудина, яка має форму тіла обертання з віссю (рис. 6), наповнена сипким тілом, рідиною або газом під тиском . Тиск газу рівномірно розподілений по поверхні оболонки. Тиск же рідини чи сипкого тіла змінюється залежно від вертикальної коор­динати, а в усіх точках горизонтального перерізу — сталий. Якщо тиск рівномірний, товщина посудини дуже мала, то стінки посу­дини зазнаватимуть тільки розтягу або стиску.

Зі стінки оболонки виділимо нескінченно малий елемент двома площинами вздовж меридіанів і вздовж паралелей. Через те що тиск і оболонки симетричні, по площинах виділеного елемента не буде дотичних напружень, тобто вони будуть головними, по яких діятимуть головні напруження і . Нехай розміри сторін елемен­та – і , радіуси кривизни меридіана та паралелі – і , центральні кути – відповідно і (рис. 6), відповідні зусилля по гранях – і . Ці зусилля зрівноважуються рівнодійною тиску, що виникає на внутрішній поверхні елемента: .

Склавши рівняння рівноваги (суми проекцій усіх прикладених сил на нормаль до поверхні), одержимо

.

Оскільки кути нескінченно малі, то

;

Тоді вираз запишемо так:

Врахувавши попередні рівності і те, що

;

рівність запишемо так:

Після елементарних перетворень одержимо рівняння тонкостін­них посудин, так зване рівняння Лапласа:

.

Для сферичної посудини (оболонки) ; . Тоді з рівняння отримаємо

де – радіус сфери.

Для циліндричної оболонки , , тоді з рівняння за умови напруження у поперечному напрямку

Напруження, що діють по твірній циліндричної оболонки, ви­значають з умови рівноваги по перерізу, перпендикулярному до осі циліндра:

,

де – сила, що діє на днище циліндра; – площа перерізу циліндра.

Із попередніх формул випливає, що напруження у поздовж­ньому перерізі вдвічі більше, ніж у поперечному. Тому умова міцно­сті для циліндричної оболонки має вигляд

.

Звідки, наприклад, товщина стінки для діючого тиску